DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 

1.1. RELACIONES FUNDAMENTALES 

1.1.1. Movimiento del centro de masa de un sistema de partículas 

Sea un sistema formado por tres partículas de masas m₁, m₂ y m₃, con velocidades respectivas v₁, v₂ y v₃ respectivamente en relación a un sistema inercial de referencia. 

Definiremos velocidad del centro de masa por: 

V_cm = (m₁v₁ + m₂v₂ + m₃v₃)/M (ecuación I) 

Siendo M = m₁ + m₂ + m₃ la masa total del sistema. 

Definiremos vector de posición del centro de masa por: 

r_cm = (m₁r₁ + m₂r₂ + m₃r₃)/M (ecuación II) 

Se deduce por aplicación de la derivada en (II): 

dr_cm/dt = v_cm (ecuación III) 

Igualmente y definido un momento lineal para cada partícula (p_i = m_iv_i) podemos establecer a partir de la ecuación I: 

v_cm = (p₁+p₂+p₃)/M = P (ecuación IV)

o bien P = Mv_cm (ecuación V) 

La ecuación V nos indica que el momento lineal del sistema de partículas coincide con el que tendría el centro moviéndose con velocidad v_cm como si toda la masa se concentrara en él. 

De hecho cuando se trata de estudiar el movimiento de cualquier cuerpo como un avión o una esfera compuesto por una inmensa cantidad de partículas hablamos de la velocidad del centro de masa al querer describir su movimiento y/o trayectoria. 

Cuando el sistema está aislado, sabemos por el principio de conservación del momento lineal que P es constante. Por tanto: el centro de masa de un sistema aislado se mueve con velocidad constante con relación a un sistema inercial y siempre suponiendo que las masas de las partículas no dependen de sus velocidades. 

En particular podemos considerar un sistema inercial de referencia en el centro de masa del sistema, lo cual implica obviamente que r_cm = 0 y que v_cm = 0. Este sistema de referencia lo denominaremos G y con respecto a él resulta: 

P_G = 0 (ecuación VI)

A veces al sistema G y justamente por lo anterior se le denomina sistema de referencia cero. 

(Cualquier símbolo escrito sin destacar en negrita se refiere a una magnitud escalar. La representación con resalte en negrita se refiere a una magnitud vectorial. P se refiere al momento lineal total del sistema de partículas. En un sistema aislado se consideran únicamente las fuerzas internas ejercidas entre las partículas. El sistema inercial es aquel que permanece en reposo o con velocidad constante en relación al cuerpo que se mueve. Quizás el lector entienda mejor esta referencia si tomamos el ejemplo de definir posiciones en la Tierra a partir de su centro de masa (supuesta en su centro geométrico) que es lo que entendemos como longitud o latitud terrestre)

Sea ahora un sistema S no aislado. Esto significa que las partículas además de interactuar entre ellas también lo hacen con otras partículas externas de un sistema S'. En el gráfico hemos representado el sistema S con nuestras tres partículas m₁, m₂ y m₃ y el sistema S' con dos partículas m₄ y m₅.

Si realmente sólo existen estas interacciones indicadas el conjunto S+S' se constituye como un sistema aislado y en tal caso: 

P_S+S' = constante ® P_S + P_S' = constante (ecuación VII)

Lo que implica que un aumento del momento lineal de S implica una disminución de igual valor del momento lineal de S', y viceversa.

DP_S = - DP_S' (ecuación VIII)

En definitiva, la interacción entre dos sistemas puede entenderse como un intercambio de sus momentos lineales.

Si aplicamos la derivada respecto al tiempo en la ecuación VII obtenemos:

dP_S/dt + dP_S'/dt = 0 ® F_S + F_S' = 0 ® F_S = - F_S' (ecuación IX)

siendo F_S y F_S' las fuerzas externas sobre cada uno de los sistemas. El hecho de que sean las fuerzas externas es debido a la anulación obligatoria de las fuerzas internas entre cada pareja de partículas dentro de cualquier sistema en base a la ley de acción-reacción de Newton o tercera ley de la dinámica. La ecuación IX establece pues que la ley de acción-reacción entre dos sistemas se verifica como si cada sistema se tratara de una partícula.

De la ecuación V obtenemos derivando respecto al tiempo:

F = dP/dt = M dv_cm/dt = M a_cm (ecuación X)

Con lo cual vemos que el centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sujeta a la fuerza externa aplicada al sistema (Física. Volumen I: mecánica. Alonso y Finn). 

(Los resultados expresados por las ecuaciones desarrolladas hasta ahora ponen de manifiesto que la interacción entre dos sistemas de partículas pueden ser descritos como si de dos partículas se trataran.  Es interesante relacionar la fuerza externa que actúa sobre un sistema con las fuerzas externas que actúan sobre cada una de las partículas de dicho sistema. Para abreviar supongamos que un sistema está constituido solo por dos partículas, designaremos F₁₂ la fuerza interna que la partícula 2 ejerce sobre la 1 y F₂₁ a la fuerza interna que ejerce 1 sobre 2. La ley de acción-reacción indica que: F₁₂ = - F_21. Llamemos F₁ a la fuerza externa sobre la partícula 1 debido a su interacción con otras partículas e igualmente F₂ a la fuerza externa sobre ella: La fuerza total sobre cada una es: dp₁/dt = F₁ + F₁₂; dp₂/dt = F₂ + F_21. La variación del momento lineal del sistema de las dos partículas es: dP/dt = dp₁/dt + dp₂/dt = F₁ + F_2. ya que F₁₂ + F₂₁ = 0. Por tanto la fuerza externa sobre un sistema de partículas es la suma de las fuerzas externas sobre cada una de las partículas del sistema (Física. Volumen I: mecánica. Alonso y Finn).) 

1.1.2 Masa reducida 

Vamos a suponer el caso de dos partículas sujetas solamente a la interacción entre ellas; este es el caso de que no actuara ninguna fuerza externa sobre ellas. Las dos partículas pueden ser dos bolas de billar en el momento del choque entre ellas y durante un instante breve donde otras fuerzas como las de rozamiento pueden obviarse. Las fuerzas internas mutuas entre ellas F₁₂ y F₂₁ donde lógicamente hemos considerado a las dos partículas como sistemas S y S' con la masa concentrada en su centro geométrico. En el siguiente esquema representamos las posiciones de cada una en relación a un sistema inercial de referencia así como las fuerzas mutuas:

 

Con respecto al observador inercial 0:

F₁₂ = m₁ dv₁/dt

F₂₁ = m₂ dv₂/dt

O sea:

dv₁/dt = F₁₂/m₁

dv₂/dt = F₂₁/m₂ 

Restando ambas ecuaciones: 

dv₁/dt - dv₂/dt = F₁₂/m₁ - F₂₁/m₂ 

Al ser F₁₂ = - F₂₁ tenemos que: 

d(v₁-v₂)/dt = (1/m₁ + 1/m₂) F₁₂ (ecuación XI) 

siendo v₁ - v₂ = v₁₂ la velocidad relativa de m₁ respecto a m₂ y por tanto d(v₁-v₂)/dt = dv₁₂/dt = a₁₂ que es la aceleración de m₁ relativa a m₂ 

Introducimos el concepto de masa reducida del sistema definido por: 

1/µ = 1/m₁ + 1/m₂ = (m₁+m₂)/(m₁·m₂) o bien: 

µ = (m₁·m₂)/(m₁+m₂) (ecuación XII) 

La ecuación XI puede ser entonces escrita bajo la forma: 

a₁₂ = F₁₂/µ ® F₁₂ = µa₁₂ (ecuación XIII) 

Lo que nos lleva a: el movimiento relativo de dos partículas sujetas únicamente a una interacción mutua es equivalente al movimiento, relativo a un observador inercial, de una partícula de masa igual a la masa reducida bajo una fuerza igual a la interacción de una de ellas.

 

(En el caso que m₁ = m₂ se verifica que µ = ½ m_1. En tal caso se verifica que: F₁₂ = ½ m₁ a₁₂₎

 

1.1.3 Momento angular de un sistema de partículas

 

El momento angular de una partícula con relación a un punto dado viene definido por

 

L = r Ù p = m r Ù v

 

Donde el símbolo "Ù" representa al producto vectorial

 

La derivación del momento angular de la partícula nos lleva a:

 

dL/dt = d(r Ù p/dt = m d(r Ù v)/dt = m [(dr/dt) Ù v + r Ù (dv/dt)] = m [v Ù v + r Ù (dv/dt)] =

 

= m (r Ù a) = r Ù ma = r Ù F = t (ecuación XIV)

 

Siendo t el momento de la fuerza o torque en relación a un punto dado.

 

Supongamos ahora un sistema de dos partículas, el torque sobre cada una de ellas será:

 

dL₁/dt = t₁ ; dL₂/dt = t₂

 

sumamos ambas: d(L₁+L₂)/dt = t₁ + t₂ (ecuación XV)

 

Supongamos que sobre cada partícula actúa una fuerza externa además de la que ejerce
sobre ella la otra:

 

t₁ = r₁ Ù (F₁ + F₁₂) = r₁ Ù F₁ + r₁ Ù F₁₂

 

t₂ = r₂ Ù (F₂ + F₂₁) = r₂ Ù F₂ + r₂ Ù F₂₁

 

Dado que F₁₂ = F₂₁:

 

t₁ + t₂ = r₁ Ù F₁ + r₂ Ù F₂ + (r₂ - r₁) Ù F₂₁

 

Y como el vector r₂ - r₁ está en la línea que contiene a ambas partículas y también en ella
se contiene F₂₁ el último sumando se anula obteniéndose:

 

d(L₁+L₂)/dt = t_1.ext + t_2.ext

 

generalizado a cualquier número de partículas obtenemos:

 

dL/dt = t_ext (ecuación XVI)

 

Por tanto: la rapidez de cambio del momento angular total de un sistema de partículas en
relación a un punto es igual al torque total en relación al mismo punto, de las fuerzas
externas que actúan sobre el sistema. Este enunciado se considera como ley fundamental de
la dinámica de rotación. 

(Si no hubiera fuerzas externas o casualmente la suma de los torques fuera cero sería: dL/dt = 0 y por tanto:

L = L₁ + L₂ = constante. Es decir: EL MOMENTO ANGULAR TOTAL DE UN SISTEMA AISLADO O SOBRE EL QUE
ACTÚA UN TORQUE TOTAL NULO ES CONSTANTE VECTORIALMENTE, ES DECIR, ES CONSTANTE EN VALOR Y EN
 DIRECCIÓN. La ecuación anterior implica además que: DL₁ = - DL_2. Con respecto a un sistema cualquiera formado
por un número de partículas debemos indicar que el aumento producido en el momento angular de una región de dicho
 sistema implica una disminución de igual valor en el resto. Esto siempre y cuando el sistema esté aislado o el torque
 total exterior sea nulo. Esta última connotación (torque total nulo) es frecuente, como en los casos donde la fuerza
externa está en la dirección del centro de masas G. En tal circunstancia dicha fuerza externa podrá provocar un
 cambio en el contexto de una traslación pero sin afectar a la rotación total del sistema) 

1.1.4. Energía cinética de un sistema de partículas 

Consideremos dos partículas de masas m₁ y m₂, sobre las que se ejercen respectivamente fuerzas F₁ + F₁₂ y F₂ + F₂₁, siendo F₁ y F₂ las fuerzas externas, y F₁₂ = - F₂₁ las fuerzas internas entre ellas iguales y de sentidos contrarios. Se verifica entonces: 

m₁a₁ = F₁ + F₁₂ y m₂a₂ =  F₂ + F₂₁ (ecuaciones XVII) 

sean dr₁ y dr₂ un infinitesimal desplazamiento en un tiempo dt de cada una de las partículas y tangentes a la trayectoria que cada una describe, efectuamos el producto escalar y será entonces: 

m₁a₁·dr₁ = F₁· dr₁ + F₁₂· dr₁ y m₂a₂· dr₂ =  F₂· dr₂ + F₂₁· dr₂ 

que sumadas nos lleva a: 

m₁a₁·dr₁ + m₂a₂·dr₂ = F₁·dr₁+F₂·dr₂+F₁₂·(dr₁-dr₂) (ecuación XVIII) 

que podemos transformar de la siguiente manera: 

m₁(dv₁/dt)·dr₁ + m₂(dv₂/dt)·dr₂ = F₁·dr₁+F₂·dr₂+F₁₂·(dr₁-dr₂) 

m₁dv₁·(dr₁/dt) + m₂dv₂·(dr₂/dt) = F₁·dr₁+F₂·dr₂+F₁₂·(dr₁-dr₂) 

m₁dv₁·v₁ + m₂dv₂·v₂ = F₁·dr₁+F₂·dr₂+F₁₂·(dr₁-dr₂) 

m₁v₁dv₁ + m₂v₂dv₂ = F₁·dr₁+F₂·dr₂+F₁₂·dr₁₂ 

Integrando desde un tiempo inicial t₀ hasta un tiempo t obtenemos:

 

m₁∫v₁dv₁ + m₂∫v₂dv₂ = ∫F₁·dr₁+∫F₂·dr₂+∫F₁₂·dr₁₂ 

m₁(v₁²/2-v₁₀²/2) + m₂(v₂²/2-v₂₀²/2) = W_1,ext + W_2,ext + W_int 

y finalmente: Ec - Ec₀ = W_ext + W_int (ecuación XIX) 

Resulta evidente que si no hay fuerzas externas el término W_ext = 0, lo que nos lleva a que la variación de la energía cinética del sistema solo puede ser debido a fuerzas internas. 

Aún así, la mayor parte de los fenómenos cotidianos suponen sistemas que interactúan con el entorno con lo que las fuerzas externas y, por tanto, el trabajo externo suele aparecer como un parámetro a tener en cuenta. En la colisión por ejemplo entre dos bolas es inevitable cierto grado de participación de fuerzas externas como deformaciones por el propio choque o por la existencia de fuerzas disipativas como las de rozamiento. En estos casos la fuerza externa supone un consumo energético del sistema que se traduce en una pérdida de la energía cinética del sistema. Es decir, que aun suponiendo que W_int  = 0 a causa de la ley de acción-reacción debe considerarse en numerosas ocasiones W_ext como valor negativo para el sistema, por tanto Ec - Ec₀ = -W_ext o bien Ec = Ec₀ - W_ext 

(Todo el desarrollo matemático hasta ahora nos ha llevado a una serie de leyes de conservación y de variación. Si
 sobre un sistema no actúan fuerzas externas su momento lineal permanece constante. Esto implica que si el sistema
 se constituye de dos sub sistemas, el aumento del momento lineal de uno supone una disminución de igual valor en
 el otro. De la misma manera también el momento angular de un sistema permanece constante cuando no actúan
fuerzas externas, lo que implica que si está constituido por dos sub sistemas, el aumento del momento angular de
 uno de ellos supone la disminución de igual valor en el otro. Las mismas condiciones podemos establecer
para la energía cinética. Sin embargo, insisto una vez más, es imposible aislar por completo un sistema aunque si
podemos llegar a aproximaciones más o menos aceptables. Un caso posible es considerar una transición de un sistema
 en un tiempo suficientemente breve como para considerar que las únicas interacciones significativas sean las debidas
 a las fuerzas internas. En tal caso si podríamos admitir los principios de conservación antes indicados)

1.1.5 Colisiones 

La aproximación entre dos partículas supone, debido a la mutua interacción, un intercambio de momento lineal, momento angular y energía. Igual consideración podemos establecer cuando la aproximación es entre dos sistemas de partículas. No es necesario para ello que las dos partículas o sistemas hayan tenido un contacto físico en el sentido microscópico, y aunque en el sentido macroscópico pueda dar esa impresión (por ejemplo la colisión entre dos bolas de billar) la realidad es que no ha sucedido realmente el contacto. De todas maneras es suficiente con una aproximación de las partículas o de los dos sistemas en una cierta región del espacio. 

El cambio de la trayectoria, las velocidades, momentos lineales, momentos angulares y energía de cada partícula o sistema en un tiempo breve de la colisión se deben sólo y exclusivamente a fuerzas internas. Esto supone la conservación global del momento lineal, del momento angular y de la energía. 

La energía del sistema es la suma de su energía cinética y su energía interna. En el caso del estudio de sistemas planetarios podría considerarse dentro de la energía interna la energía potencial gravitatoria de los distintos astros, pero en el caso de fenómenos que nos resultan más cotidianos y cercanos como podría ser el choque entre dos bolas de billar, la energía interna se debe a un conjunto de energías que poseen los distintos constituyentes o partículas elementales del sistema, especialmente la energía potencial eléctrica, las cinéticas internas debida a vibraciones atómicas, moleculares o incluso de núcleos, las causadas por enlaces químicos, etc. Estas energías que globalizan a la interna del sistema pueden verse afectadas en la colisión. Es más, probablemente siempre ocurre ya que es casi imposible que un estado alterado retorne a su situación inicial al nivel molecular. Aún así, y durante un determinado y muy breve espacio de tiempo, podríamos despreciar estos cambios y considerar que la única energía significativa en cuanto a transformación es la cinética. 

Podemos, por tanto, considerar dos tipos de colisiones: a) elásticas en las que la energía cinética global permanece constante, b) inelástica en las que la energía cinética global ha variado de valor y siempre disminuyendo. 

En casos reales la decisión de si una colisión es elástica o no tiene mucho que ver con las condiciones en las que se ha producido. Cuando una bola de billar impacta con poca velocidad sobre otra la pérdida de energía por deformaciones puede casi despreciarse y considerar entonces que se mantiene la energía cinética global. Cuando la colisión es intensa la deformación puede ser suficientemente importante para tener en cuenta la variación de la energía cinética. Definiremos el término Q como Q = Ec - Ec₀. Por lo anterior es Q = 0 para una colisión elástica y Q ≠ 0 para una colisión inelástica. 

(El caso específico del choque entre dos bolas de billar puede ser un problema sumamente complejo. Tener en cuenta
que el choque sucede con las bolas deslizándose o rotando sobre un paño con el que sostienen un rozamiento. No
 es por tanto el mismo caso que una colisión entre dos bolas supongamos en el aire donde el rozamiento con el aire
podría despreciarse sin afectar significativamente a los resultados. La bola de billar no es un material rigurosamente
 rígido sino que tiene cierta elasticidad, esto implica que cuando dos bolas chocan inevitablemente se
 produce una deformación en ellas y que es la causa principal del deterioro de las mismas. La deformación de las
 bolas es mayor cuanto mayor sea la velocidad del impacto y las consecuencias son muy distintas a las que
acaecen con velocidades pequeñas. Realmente podemos estimar que el tiempo de la colisión es muy breve, lo que
 implica que si bien no podemos olvidar la deformación por el choque, sí podemos considerar nulo la
afectación del rozamiento con el paño en ese momento del choque. En cuanto a la colisión de una bola en la
 banda la complejidad es aún mayor debido a la gran elasticidad de la propia banda que se deforma
ostensiblemente. La intensidad de la deformación así como la forma geométrica de la deformación de la banda
 es muy variable y tiene mucho que ver con la velocidad, el ángulo e incluso la rotación de impacto de la bola)

 

Veamos el caso concreto de una colisión entre dos partículas (por ejemplo dos bolas de billar) donde sólo tendremos en cuenta las fuerzas mutuas entre ellas y ninguna fuerza externa como rozamientos, etc.  

Las energías cinéticas iniciales y finales del sistema serían: 

Ec₀ = ½ m₁v_1,0² + ½ m₂v_2,0² = p_1,0²/(2m₁) + p_2,0²/(2m₂) 

Ec_f = ½ m₁v_1,f² + ½ m₂v_2,f² = p_1,f²/(2m₁) + p_2,f²/(2m₂) 

La pérdida de energía sería: Q = Ec_f - Ec₀ (ecuación XX) 

Q = p_1,f²/(2m₁) + p_2,f²/(2m₂) - p_1,0²/(2m₁) - p_2,0²/(2m₂) 

p_1,f²/(2m₁) + p_2,f²/(2m₂) = p_1,0²/(2m₁) - p_2,0²/(2m₂) + Q (ecuación XXI) 

Según se indicó en la página anterior se verifica además el principio de conservación del momento lineal: 

p_1,0 + p_2,0 = p_1,f + p_2,f (ecuación XXII) 

Las ecuaciones XXI y XXII son suficientes para resolver el problema del choque completamente. 

De acuerdo con la ecuación VI, si referimos los choques al centro de masas el momento lineal es cero, esto implica que:

p_1,0 = - p_2,0 y p_1,f = - p_2,f que suponen las mismas condiciones para sus módulos: p_1,0 = - p_2,0 y p_1,f = - p_2,f 

Sustituyendo en la ecuación XXI: 

½ (1/m₁ + 1/m₂) p_1,f² = ½ (1/m₁ + 1/m₂) p_1,0² + Q 

Y utilizando la definición de masa reducida: 

p_1,f²/2µ_f = p_1,0²/2µ₀ + Q (ecuación XXIII) 

En la que hemos supuesto que µ_f ≠ µ₀, es decir, que las masas de las partículas antes y después del choque son diferentes. Esta consideración normalmente siempre es cierta llevada a la escala microscópica y en el choque entre dos bolas de billar también por la lógica pérdida de masa. Con un cierto tiempo de margen el experimentador podrá comprobar que las bolas de billar pesan cada vez menos como consecuencia de su uso. 

No obstante, sin contradecir lo anterior, podemos estimar que en un choque puntual la pérdida de masa es despreciable y entonces µ_f = µ₀ o bien: 

p_1,f²/2µ = p_1,0²/2µ + Q (ecuación XXIV) 

(En un choque hay siempre un intercambio de momento lineal entre las partículas pero no necesariamente un
 intercambio de energía cinética entre ellas. Por ejemplo, si el choque es elástico (Q = 0) y las partículas finales son las
mismas que las iniciales (sin variaciones en sus masas) la ecuación XXIV da como resultado p_1,0 = p_1,f, e igualmente
 p_2,0 = p_2,f. De esta manera, en el sistema del centro de masas, los momentos lineales del choque elástico antes y
 después tienen los mismos valores y las partículas retienen sus energías cinéticas, o dicho de otro modo, no se
 intercambian energía cinética entre ellas con relación al centro de masas. Sin embargo ha habido un intercambio del
momento lineal ya que las direcciones de sus movimientos han sido cambiadas)

  PROBLEMA CONCRETO DEL CHOQUE ENTRE DOS BOLAS DE BILLAR 

Sea la bola 1 la que el jugador golpea a través de su taco para dirigirla hacia la bola 2. La regla del billar exige que esta bola 2 deba estar en reposo. También vamos a suponer que las masas de las bolas son idéntica entre ellas y antes y después de la colisión.

 

 

Por el principio de conservación del momento lineal se verifica: 

v_1,0 = v_1,f + v_2,f de donde v_1,0² = v_1,f² + v_2,f² + 2v_1,f·v_2,f·cos(q₁+q₂) 

Por el principio de conservación de la energía cinética se verifica:

v_1,0² = v_1,f² + v_2,f² . Por tanto 2v_1,f·v_2,f·cos(q₁+q₂) = 0

Lo que implica que q₁+q₂ = 90º, es decir, las velocidades de las dos bolas son perpendiculares entre sí.

 

´LIBRO BILLAR METÓDICO-7

ALARGAMIENTO DEL GOLPE 

Para no confundirlo con el alargamiento del limaje lo denominaré en adelante penetración. La penetración es la longitud de flecha que sacamos desde la mano delantera hacia delante en el momento del golpe. Es como si quisiéramos atravesar la bola 1 con la flecha. Curiosamente, y quizás muchos no lo sepan, la penetración supone siempre un tiempo de contacto de la suela con la bola 1. Lo anterior significa que todos los jugadores cometemos realmente "falta" si aplicamos con rigor máximo la regla del juego. 

La penetración se justifica en una ley física conocida como variación del momento lineal que matemáticamente se expresa como F·t = m·v para las condiciones que se dan en el billar donde la bola 1 al principio permanece en reposo. En dicha ecuación F es la fuerza imprimida a la bola a través del golpe con el taco (esta fuerza es resultado de la inercia del taco y de la fuerza muscular del jugador en el momento de contacto del taco con la bola, es decir, que la fuerza muscular del jugador para mover el taco antes de golpear a la bola no tiene ninguna efectividad sobre ésta salvo, claro está, la aplicación energética de esa fuerza para mover el taco en los limajes previos). t es el tiempo de contacto de la suela con la bola en la penetración. m es la masa de la bola y v la velocidad que se le trasmite. 

De la ecuación deducimos un hecho simple, si queremos por ejemplo doblar o triplicar la velocidad de la bola podemos hacerlo de dos maneras: a) doblando o triplicando respectivamente la fuerza, b) doblando o triplicando respectivamente el tiempo de contacto. Esto último es justamente lo que aprovechamos con la penetración. Podemos lograr una velocidad doble sin necesidad de aumentar el esfuerzo muscular lo que supone en realidad un golpe más suave o lento pero más penetrado favoreciendo aspectos esenciales como la rectitud.

 

Considerando que sacamos una punta de flecha de unos 10 a 15 cm el máximo alargamiento sería aproximadamente toda la flecha aunque normalmente unos 50 o 60 centímetros ya se puede considerar como un golpe muy penetrado. Estableceremos el valor 0 desde los 15 cm iniciales hasta el valor 10 que corresponderá a unos 60 centímetros aunque, como ya he dicho, podemos ampliarlo más

BILLAR METÓDICO-6

VELOCIDAD DEL GOLPE 

A mi entender es uno de los puntos más importantes del juego del billar y específicamente de las tres bandas. Su control está muy relacionado con el concepto de mesura (la mesura la entiendo como un equilibrio de velocidad y toma de bola 2 que tiene una importancia fundamental para el control de cruces de bolas no deseados y para la preparación).

 La velocidad tiene además un protagonismo esencial en los instantes iniciales del recorrido de la bola 1 ya que el primer fenómeno físico que aparece es la "traslación" de la bola antes que los efectos o alturas de ataque. Es un hecho conocido que si queremos que nuestra bola pierda pronto la calidad de efecto debemos atacar con poca velocidad para obtener lo que denominamos cuadraje. Si atacamos rápido la bola 1 alcanza pronto puntos más lejanos y aún conserva su calidad de efecto.

La siguiente posición es una buena experiencia para conocer este fenómeno.

 

 

Si golpea muy rápido el efecto inverso que lleva la bola 1 aparece más tarde, la velocidad de traslación influye de manera que "esconde" el efecto. Si golpea extremadamente fuerte puede que incluso la bola no sea capaz de tocar la tercera banda. Si golpea más lento con el mismo efecto y hacia el mismo punto de ataque el factor velocidad pierde importancia antes y aparece adecuadamente el factor efecto logrando retornar antes la bola hacia la tercera banda y verticalizar los ángulos. 

Es evidente que este conocimiento de las velocidades se adquiere con la experiencia pero es importante incluso para un jugador iniciado que tome conciencia de su existencia e ir adquiriendo poco a poco la destreza para controlarlo y lograr entonces los objetivos que tenga planteado. 

Las características singulares de las tres bandas exige en un alto porcentaje de casos velocidades importantes, desde luego mucho más que en los juegos cortos o de series. El gesto muscular es por tanto también más brusco y extremo. Quiero decir que la escala de velocidades en tres bandas es muy amplia y que los márgenes de error también aumentan, pero inevitablemente estamos obligado a estudiarlo y saber aplicarlo.

 

Es fundamental simplemente para la solución positiva de una posición y mucho más para objetivos como evitar retruques y la preparación. Si pretendes ser un magnífico jugador de billar debes tener esto muy presente.

LIBRO BILLAR METÓDICO-5

LIMAJES 

Es una de las cuestiones donde puede haber más controversia, variedad y criterios subjetivos. ¿Cuántos limajes son los adecuados por ejemplo? En cuanto a tipo de jugadores los hay desde quien lima solo dos veces a quien lima más de diez veces. El prototipo más generalizado suelen ser de 3 a 6 limajes. No obstante hay ocasiones que no conviene limar nada como ya veremos más adelante, uno de ellos es cuando queremos tomar una bola muy fina situada lejos. En principio y salvo que realice alguna observación excepcional lo fijaremos en 3 o 4 limajes antes de golpear. 

El ritmo del limaje (lento, medio o rápido) está en función de la jugada y tiene mucho que ver con el tipo de golpe lento, medio o rápido respectivamente. No es habitual un limaje lento y un golpe rápido por ejemplo. Realmente el jugador adquiere con el tiempo experiencia y asimila de forma natural esta etapa de la ejecución.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

 

En mi caso concreto que suelo hacer unos 3 o 4 limajes tardo: unos 5 segundos para un ritmo medio, unos 2 segundos para un ritmo muy rápido, y unos 8 segundos para un ritmo lento moderado. 

La longitud del limaje es otra etapa esencial. La escala va desde el cero limaje y por tanto ninguna longitud hasta la extensión prácticamente máxima del brazo trasero. En general la longitud del limaje suele estar en consonancia con el tipo de golpe y también con el ritmo. No es usual por ejemplo un limaje largo lento y golpe lento. Sin embargo es factible un limaje corto con un ritmo más o menos medio y un golpe rápido; esto es así en ocasiones donde con el limaje corto queremos asegurar el punto de ataque en la bola 1 o la toma de la bola 2 pero interesa golpe con velocidad porque buscamos un fuerte rechace de la bola 2 contra la bola 1.

Hay casos mixtos, por ejemplo dos o tres limajes cortos y uno último medio o largo sin o con paradiña. Daniel Sánchez usa esta técnica con frecuencia, probablemente para asegurar, como dije antes, el punto de ataque y/o la toma de bola 2 y una adecuada penetración en el momento del golpe a la bola 1.

 

PUNTA DE FLECHA

 

Es la distancia entre la mano delantera y la suela. Salvo casos excepcionales no conviene sacar mucha flecha ya que se presta a desviaciones importantes que afectan a la rectitud, ni tampoco poca flecha que nos oculta la visión del punto de ataque sobre la bola 1. Lo normal es aproximadamente de 10 a 20 cm.  

PUNTA DE MASA 

Es la distancia desde la mano trasera hasta el extremo final de la masa del taco. Dependiendo del tipo de golpe podemos variar esta distancia. Lo normal es que se sitúe a unos 10-15 cm del extremo final cuidando siempre que la mano trasera debe estar sobre la vertical del pie. En determinadas ocasiones que necesitemos aplicar una fuerza extrema podemos llevar la mano trasera hasta el extremo final incluso saltándonos la norma de la vertical sobre el pie.

PRESIÓN DE LA MANO TRASERA 

Es muy parecido a la presión sobre el volante de un automóvil, debemos "sentir" el taco en todos los dedos de la mano trasera sin ejercer una fuerte presión. Esta sería la situación más normal y frecuente. Sin embargo tendrá cierta frecuencia disminuir esta presión con especial importancia cuando se pretenda tomar bolas finas de cerca, en numerosos retrocesos o cuando interesa una pérdida de calidad en la rotación de la bola 1 durante su recorrido una vez golpeada. Curiosamente, al menos por mi experiencia, presionando más sobre el taco favorezco la toma de bola fina en largas distancias.

PARA APRENDER LA SERIE AMERICANA

Recomiendo un libro que explica perfectamente cómo se debe realizar la serie americana:

Billar con efecto y con afecto, de Valeriano Parera Sans, Editorial Hispano Europea

LIBRO BILLAR METÓDICO-4

CABEZA Y PIES 

La razón de tratarlos juntos es que la falta de sincronización entre ambos suele ser la causa más frecuente de una mala posición del cuerpo en general. 

Una cuestión importante es qué parte de la cabeza debe estar encima del taco. A mi entender debe ser el ojo dominante por un fenómeno que podemos denominar como lateralidad de la visión. Todos tenemos un ojo dominante, o dicho de una manera más simple, todos vemos más con un ojo que con otro. La forma de averiguar cuál es tu ojo dominante es muy sencilla: coge una hoja de papel y practícale un pequeño agujero más o menos en su centro, coge la hoja con las dos manos y extiende los brazos hacia delante, enfoca cualquier objeto que esté a varios metros a través del agujero del papel CON LOS DOS OJOS ABIERTOS, ahora no te muevas, cierra uno de los ojos y deja abierto el otro; sigue sin moverte y cambia, abre el que estaba cerrado y cierra el que estaba abierto. Tu ojo dominante es aquel que sigue enfocando el objeto a través del agujero con el otro ojo cerrado. Tu ojo dominante es el que debe estar encima del taco.

Como dije anteriormente, el pie trasero, el brazo trasero entero, la mano delantera, y si es así lógicamente el taco, y el ojo dominante deben estar en un mismo plano vertical. El pie adelantado esta girado un cierto ángulo con lo que el cuerpo en general está rotado. La posición debe ser cómoda y flexible, pero debe ser ésta.

 

Veamos un caso en que se cometen errores:

 

 

Observa el antebrazo en un plano diferente al ojo-taco-mano delantera. Se supone que su ojo dominante es el izquierdo, porque si fuera el ojo derecho también tendría mal situada la cabeza. El problema es que no tiene bien girado el cuerpo por culpa de los pies.

 

 

Otras consideraciones con la mano delantera:

Eventualmente podemos adoptar posiciones diferentes a la anilla. Se trata de la posición "puente". Este método es muy frecuente en las modalidades de pool y snooker ya que el objetivo en estas modalidades es direccionar a la bola 2 mientras que el recorrido de la bola 1 aún siendo también importante podemos considerar que es menos prioritario. También podemos usarlo en la modalidad de carambola y en tres bandas en particular. Normalmente se realiza para aquellos golpes de velocidades bajas y con frecuencia cuando queremos tomar bola fina.

También hay otra serie de posiciones conocidas como caballete donde nos vemos obligado levantar la mano y apoyarla en el tapete sobre los dedos corazón-anular-meñique. Es frecuente en las jugadas de massé, piqué o cuando estamos obligado a levantar el taco por encima de la bola 3 ya que ésta nos está molestando para atacar adecuadamente a la bola 1.

 

 

 

CÓDIGOS DE LA MANO DELANTERA:

 

POSICIÓN NORMAL A MEDIA ALTURA 

 

POSICIÓN ALTA

 

POSICIÓN BAJA

 

POSICIÓN HIPER BAJA

 

APOYO EN BANDA, TACO HORIZONTAL

 

APOYO EN BANDA, MANO ALZADA 

 

MASÉ O PIQUÉ (ÁNGULO)

 

 

 

(CONTINUARÁ...)

LIBRO BILLAR METÓDICO-3

Apoyo en banda cuando la bola 1 está entre una y una bola y media de la banda. El dedo pulgar está apoyado en la banda y es el que sirve de ancla para mantener ésta firme y sin desviaciones.

 

Salvo para algún golpe específico que requiera un fuerte ataque no es recomendable en general esta posición.

 

Cuando la bola está muy pegada a banda podemos adoptar esta posición. Observa que el dedo pulgar está apoyado presionando el marco exterior de la mesa. Esto es lo que mantiene anclada la mano para que no se mueva.

 

 Esta es una segunda opción con la bola pegada. La fijación de la mano se realiza en este caso con el dedo corazón apoyado firmemente en el marco exterior de la mesa.

Nuevamente no es recomendable esta posición aunque puede usarse eventualmente en una jugada de fuerte ataque.

(CONTINUARÁ...)

LIBRO BILLAR METÓDICO-2

DE LOS BRAZOS 

En general el brazo delantero deberá estar extendido. El brazo izquierdo debe doblarse aproximadamente 90º por el codo y normalmente el antebrazo debe estar horizontal. Esto último es modificable un poco. Algunos jugadores elevan un poco más el codo de manera que la línea codo-ojos se alinea con la bola 1, pero otros jugadores alinean codo-ojos con la bola 2 o el punto de la banda donde quieren tocar en un antes banda. 

MANOS 

La mano trasera debe coger el taco de manera que lo sienta en todos sus dedos pero no debe excederse en la presión. Es parecido a la presión de las manos sobre el volante de un automóvil. En algunos casos específicos como el retroceso se tiende a disminuir dicha presión, en las jugadas de corrido se tiende a aumentar un poco la presión. 

La mano izquierda debe estar siempre bien apoyada sobre el tapete o sobre la banda y salvo jugadas específicas donde es necesario una velocidad pequeña con una toma de bola delicada en que quizás es mejor la posición puente, en el resto se recomienda la anilla. En los siguientes gráficos vemos una serie de posiciones comentadas:


Posición normal para un golpe a media altura de la bola 1. La anilla debe ajustarse al taco pero éste debe deslizarse sin dificultades

Posición alta. Los dedos que se apoyan en el tapete se juntan para elevar la mano 

Posición baja. El dedo corazón prácticamente "se esconde" debajo de la mano. El dedo pulgar aún permanece por encima del dedo corazón 

Posición hiper baja. La base de la mano pasa al dedo pulgar

 

(CONTINUARÁ...)

LIBRO BILLAR METÓDICO-1

INTRODUCCIÓN 

El billar de tres bandas es un juego de suma dificultad y siempre existe la incertidumbre en la realización positiva de una posición. La bola jugadora debe recorrer varios metros antes de golpear a la bola 3. Esto anterior supone que cualquier desviación del golpe inicial influye sensiblemente ya que el error va aumentando a medida que la bola 1 desarrolla su recorrido. Quiero decir con lo anterior que es de suma importancia el estudio de esta modalidad ya que con el entrenamiento y la experiencia el jugador irá adquiriendo cada vez más confianza. 

Es hoy día la modalidad más estudiada, los libros, apuntes y publicaciones sobre las tres bandas son muy numerosos y con seguridad seguirán apareciendo más y más. A veces aparentan haber contradicciones entre métodos pero frecuentemente son debidas a las diferentes formas de ejecutar de cada jugador. 

Es obvio que para desarrollar los métodos de sistemas  de referencias hay que tener una buena ejecución o mecanismo. De nada nos sirve aprendernos las partituras de obras musicales si después el violinista no tiene la destreza o sensibilidad para ejecutarlos. Incluso el violinista consumado necesita practicar diariamente varias horas para mantener dicha sensibilidad. 

Ciertamente se requiere mantener en todo momento el suficiente nivel de mecanización porque, entre otras razones, resulta agotador tener que "pensar" en cada jugada cómo colocar el cuerpo, brazos, manos, cómo limar, etc. Es algo que el jugador debe realizar como si estuviera andando.

Esto significa que el entrenamiento frecuente es imprescindible si se quiere adquirir un buen nivel de juego y también para quienes ya lo tienen, pues necesitan sostener esa sensibilidad esencial y decisiva. 

Igualmente es importante saber el "por qué" además del "cómo". Muchos jugadores pueden jugar bien simplemente conociendo el "cómo" pero difícilmente podrán desarrollar un método de experimentación y mejora de carácter autodidacta. 

Los métodos numéricos, geométricos o posicionales son referencias imprescindibles para jugar bien a tres bandas y buena parte del libro está dedicada a este asunto pero, como dije antes, no podemos desarrollar adecuadamente un sistema si no tenemos un buen mecanismo o ejecución. 

La primera parte de este libro tratará de este concepto esencial. Para entender bien cómo ejecutar necesitamos preguntarnos y saber responder a los por qué.  

La parte final del libro se supone para un nivel ya más avanzado del jugador y trata de la estrategia donde se abarcan temas como marcha de juego, ataque-defensa y la preparación. 

Un último factor esencial es la sicología. Este aspecto, a veces poco estudiado, es fundamental para un jugador, tanto en los aspectos capacitivos (concentración, disciplina y rigor) como en los emocionales (personalidad, control nervioso, reacción al entorno).

 

El libro es una visión muy personal por mi parte de cómo entiendo el billar de tres bandas y qué técnicas considero más adecuadas para lograr éxitos deportivos. Si algunos de los conceptos que se van a tratar te resultan útiles yo me consideraré satisfecho pues ese es mi deseo. Por último entenderéis que se comience prácticamente desde lo más elemental ya que mi intención es que pueda ser válido para todo el espectro de jugadores que practican esta bella modalidad.

CAPÍTULO 1.- EL MECANISMO 

Es cierto que ha habido y hay grandes jugadores cuyo mecanismo se nos antoja deficiente y sin embargo obtienen buenos registros deportivos. Son jugadores que de una forma muy personal han sabido adaptar el juego a sus características físicas. No obstante esto solo debería considerarse como una excepción y, de hecho, la mayor parte de los buenos jugadores tienen un mecanismo ortodoxo y más o menos similar. 

El mecanismo tiene dos partes esenciales: 

- la estática: posición del cuerpo en general, de los brazos, manos, cabeza y pies. 

- la dinámica: número de limajes, ritmo de los limajes, longitud de los limajes, punta de flecha, punta de masa, presión de la mano trasera, velocidad de golpe, alargamiento del golpe, paradiña, etc. 

Sin embargo, previamente a todo esto hay un factor importantísimo como es la "VISUALIZACIÓN" consistente en imaginar previamente todo lo que debe ocurrir unos instantes después. Esto requiere un adecuado "paseo" alrededor de la mesa y colocarse o enfrentarse correctamente delante de la bola 1 en la línea de ataque bien sobre banda o sobre la bola 2. 

Ninguno de los conceptos anteriores deben llevar a estados físicos incómodos ni a tensiones. Si así suceden es porque algo se ha hecho mal.

 

POSICIÓN DEL CUERPO EN GENERAL

 

El gráfico anterior corresponde a una posición de Daniel Sánchez extraída de una fotografía. Considero que es un buen modelo. El cuerpo se inclina hacia delante de manera que los ojos están a unos 20 cm sobre el taco. El codo, mano trasera y pie trasero deben estar en la misma vertical. Estos puntos anteriores junto con el hombro, ojo dominante, mano delantera y lógicamente el taco, estarán en el mismo plano y también la línea de mira con la bola 1. El pie izquierdo está más adelantado que el derecho y girado aproximadamente unos 45º.

(CONTINUARÁ.....)

NOCIONES BÁSICAS SOBRE LA TEORÍA DE DIAMANTES-7

En este capítulo expongo las trayectorias de llegadas a 4ª, 5ª y 6ª banda. Pincha AQUÍ para verlo.

NOCIONES SOBRE LOS SISTEMAS DE DIAMANTE-6

En este artículo expongo una serie de aplicaciones para el largo del billar aplicando la teoría cl´ñasica de diamantes. Pincha AQUÍ pare verlo.

Lección 12 de Guenet

En el archivo adjunto se estudía una posición concreta con llamada a cuatro bandas.
Pincha AQUÍ para verlo.