1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
1.1. RELACIONES
FUNDAMENTALES
1.1.1. Movimiento
del centro de masa de un sistema de partículas
Sea un sistema
formado por tres partículas de masas m1, m2 y m3,
con velocidades respectivas v1,
v2 y v3 respectivamente en relación a un sistema inercial de
referencia.
Definiremos
velocidad del centro de masa por:
Vcm = (m1v1 + m2v2
+ m3v3)/M
(ecuación I)
Siendo M = m1
+ m2 + m3 la masa total del sistema.
Definiremos vector
de posición del centro de masa por:
rcm = (m1r1 + m2r2
+ m3r3)/M
(ecuación II)
Se deduce por
aplicación de la derivada en (II):
drcm/dt = vcm (ecuación III)
Igualmente y
definido un momento lineal para cada partícula (pi = mivi)
podemos establecer a partir de la ecuación I:
vcm = (p1+p2+p3)/M = P
(ecuación IV)
o bien P = Mvcm (ecuación V)
La ecuación V nos
indica que el momento lineal del sistema de partículas coincide con el que
tendría el centro moviéndose con velocidad vcm
como si toda la masa se concentrara en él.
De hecho cuando se
trata de estudiar el movimiento de cualquier cuerpo como un avión o una esfera
compuesto por una inmensa cantidad de partículas hablamos de la velocidad del
centro de masa al querer describir su movimiento y/o trayectoria.
Cuando el sistema
está aislado, sabemos por el principio de conservación del momento lineal que P es constante. Por tanto: el centro de
masa de un sistema aislado se mueve con velocidad constante con relación a un
sistema inercial y siempre suponiendo que las masas de las partículas no dependen
de sus velocidades.
En particular
podemos considerar un sistema inercial de referencia en el centro de masa del
sistema, lo cual implica obviamente que rcm
= 0 y que vcm = 0. Este
sistema de referencia lo denominaremos G y con respecto a él resulta:
PG = 0 (ecuación VI)
A veces al sistema
G y justamente por lo anterior se le denomina sistema de referencia cero.
(Cualquier símbolo escrito sin destacar en negrita se refiere a una
magnitud escalar. La representación con resalte en negrita se refiere a una
magnitud vectorial. P se refiere al momento lineal total del sistema de partículas. En un sistema aislado se consideran únicamente las fuerzas internas
ejercidas entre las partículas. El sistema inercial es aquel que permanece en reposo o con velocidad
constante en relación al cuerpo que se mueve. Quizás el lector entienda mejor esta referencia si tomamos el
ejemplo de definir posiciones en la Tierra a partir de su centro de masa
(supuesta en su centro geométrico) que es lo que entendemos como longitud o
latitud terrestre)
Sea ahora un sistema S no aislado. Esto significa que las partículas además de interactuar entre ellas también lo hacen con otras partículas externas de un sistema S'. En el gráfico hemos representado el sistema S con nuestras tres partículas m1, m2 y m3 y el sistema S' con dos partículas m4 y m5.
Si realmente sólo existen estas interacciones indicadas el conjunto
S+S' se constituye como un sistema aislado y en tal caso:
PS+S' = constante ® PS + PS' = constante (ecuación VII)
Lo que implica que un aumento del momento lineal de S implica una
disminución de igual valor del momento lineal de S', y viceversa.
DPS = - DPS' (ecuación VIII)
En definitiva, la interacción entre dos sistemas puede entenderse
como un intercambio de sus momentos lineales.
Si aplicamos la derivada respecto al tiempo en la ecuación VII
obtenemos:
dPS/dt + dPS'/dt = 0 ® FS + FS' = 0 ® FS = - FS' (ecuación IX)
siendo FS y FS' las fuerzas externas
sobre cada uno de los sistemas. El hecho de que sean las fuerzas externas es
debido a la anulación obligatoria de las fuerzas internas entre cada pareja de
partículas dentro de cualquier sistema en base a la ley de acción-reacción de
Newton o tercera ley de la dinámica. La ecuación IX establece pues que la ley
de acción-reacción entre dos sistemas se verifica como si cada sistema se
tratara de una partícula.
De la ecuación V obtenemos derivando respecto al tiempo:
F = dP/dt = M dvcm/dt = M acm (ecuación X)
Con lo cual vemos que el centro de masas de un sistema de partículas
se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema
sujeta a la fuerza externa aplicada al sistema (Física. Volumen I: mecánica.
Alonso y Finn).
(Los resultados expresados por las ecuaciones desarrolladas hasta
ahora ponen de manifiesto que la interacción entre dos sistemas de partículas
pueden ser descritos como si de dos partículas se trataran. Es interesante relacionar la fuerza externa que actúa sobre un
sistema con las fuerzas externas que actúan sobre cada una de las partículas de
dicho sistema. Para abreviar supongamos que un sistema está constituido solo
por dos partículas, designaremos F12
la fuerza interna que la partícula 2 ejerce sobre la 1 y F21 a la fuerza interna que ejerce 1 sobre 2. La ley de acción-reacción indica que: F12 = - F21. Llamemos F1 a
la fuerza externa sobre la partícula 1 debido a su interacción con otras
partículas e igualmente F2
a la fuerza externa sobre ella: La fuerza total sobre cada una es: dp1/dt = F1
+ F12; dp2/dt = F2 + F21. La variación del momento lineal del sistema de las dos partículas
es: dP/dt = dp1/dt + dp2/dt = F1 + F2. ya que F12 + F21 = 0. Por tanto la fuerza externa sobre un sistema de partículas es la
suma de las fuerzas externas sobre cada una de las partículas del sistema (Física.
Volumen I: mecánica. Alonso y Finn).)
1.1.2 Masa reducida
Vamos a suponer el caso de dos partículas sujetas solamente a la
interacción entre ellas; este es el caso de que no actuara ninguna fuerza
externa sobre ellas. Las dos partículas pueden ser dos bolas de billar en el
momento del choque entre ellas y durante un instante breve donde otras fuerzas
como las de rozamiento pueden obviarse. Las fuerzas internas mutuas entre ellas
F12 y F21 donde lógicamente hemos
considerado a las dos partículas como sistemas S y S' con la masa concentrada
en su centro geométrico. En el siguiente esquema representamos las posiciones
de cada una en relación a un sistema inercial de referencia así como las
fuerzas mutuas:
Con respecto al observador inercial 0:
F12 = m1 dv1/dt
F21 = m2 dv2/dt
O sea:
dv1/dt = F12/m1
dv2/dt = F21/m2
Restando ambas ecuaciones:
dv1/dt - dv2/dt
= F12/m1 - F21/m2
Al ser F12 = -
F21 tenemos que:
d(v1-v2)/dt = (1/m1 +
1/m2) F12
(ecuación XI)
siendo v1 - v2 = v12 la velocidad relativa de m1 respecto a m2
y por tanto d(v1-v2)/dt = dv12/dt = a12 que es la aceleración de
m1 relativa a m2
Introducimos el concepto de masa reducida del sistema definido por:
1/µ = 1/m1 + 1/m2 = (m1+m2)/(m1·m2)
o bien:
µ = (m1·m2)/(m1+m2)
(ecuación XII)
La ecuación XI puede ser entonces escrita bajo la forma:
a12 = F12/µ
® F12 = µa12 (ecuación XIII)
Lo que nos lleva a: el movimiento relativo de dos partículas sujetas
únicamente a una interacción mutua es equivalente al movimiento, relativo a un
observador inercial, de una partícula de masa igual a la masa reducida bajo una
fuerza igual a la interacción de una de ellas.
(En el caso que m1 = m2 se
verifica que µ = ½ m1. En tal caso se verifica que: F12 = ½ m1 a12)
1.1.3 Momento angular de un sistema de partículas
El momento angular de una partícula con relación a un punto dado
viene definido por
L = r Ù p = m r Ù v
Donde el símbolo "Ù" representa al producto vectorial
La derivación del momento angular de la partícula nos lleva a:
dL/dt = d(r Ù p/dt = m d(r Ù v)/dt = m [(dr/dt) Ù v + r Ù (dv/dt)] = m [v Ù v + r Ù (dv/dt)] =
= m (r Ù a) = r Ù ma = r Ù F = t (ecuación XIV)
Siendo t el momento
de la fuerza o torque en relación a un punto dado.
Supongamos ahora un sistema de dos partículas, el torque sobre cada
una de ellas será:
dL1/dt = t1 ; dL2/dt = t2
sumamos ambas: d(L1+L2)/dt = t1 + t2 (ecuación XV)
Supongamos que sobre cada partícula actúa una fuerza externa además
de la que ejerce
sobre ella la otra:
t1 = r1
Ù (F1 + F12) = r1
Ù F1 + r1 Ù F12
t2 = r2
Ù (F2 + F21) = r2
Ù F2 + r2 Ù F21
Dado que F12 =
F21:
t1 + t2 = r1 Ù F1 + r2 Ù F2 + (r2 - r1) Ù F21
Y como el vector r2 - r1 está en la línea que contiene a ambas partículas y también en ella
se contiene F21 el último sumando se anula obteniéndose:
d(L1+L2)/dt
= t1.ext + t2.ext
generalizado a cualquier número de partículas obtenemos:
dL/dt = text (ecuación XVI)
Por tanto: la rapidez de cambio del momento angular total de un
sistema de partículas en
relación a un punto es igual al torque total en
relación al mismo punto, de las fuerzas
externas que actúan sobre el sistema.
Este enunciado se considera como ley fundamental de
la dinámica de rotación.
(Si no hubiera fuerzas externas o casualmente la suma de los torques
fuera cero sería: dL/dt = 0 y por tanto:
L = L1 + L2 = constante. Es decir: EL MOMENTO ANGULAR TOTAL DE UN SISTEMA AISLADO O SOBRE EL
QUE
ACTÚA UN TORQUE TOTAL NULO ES CONSTANTE VECTORIALMENTE, ES DECIR, ES
CONSTANTE EN VALOR Y EN
DIRECCIÓN. La ecuación anterior implica además que: DL1 = - DL2. Con respecto a un sistema cualquiera formado
por un número de
partículas debemos indicar que el aumento producido en el momento angular de
una región de dicho
sistema implica una disminución de igual valor en el resto.
Esto siempre y cuando el sistema esté aislado o el torque
total exterior sea
nulo. Esta última connotación (torque total nulo) es frecuente, como en
los casos donde la fuerza
externa está en la dirección del centro de masas G.
En tal circunstancia dicha fuerza externa podrá provocar un
cambio en el
contexto de una traslación pero sin afectar a la rotación total del sistema)
1.1.4. Energía cinética de un sistema de partículas
Consideremos dos partículas de masas m1 y m2,
sobre las que se ejercen respectivamente fuerzas F1 + F12
y F2 + F21, siendo F1 y F2 las fuerzas externas, y F12 = - F21
las fuerzas internas entre ellas iguales y de sentidos contrarios. Se verifica
entonces:
m1a1
= F1 + F12 y m2a2 = F2
+ F21 (ecuaciones XVII)
sean dr1 y dr2 un infinitesimal
desplazamiento en un tiempo dt de cada una de las partículas y tangentes a la
trayectoria que cada una describe, efectuamos el producto escalar y será
entonces:
m1a1·dr1 = F1· dr1
+ F12· dr1 y m2a2· dr2 = F2· dr2 + F21·
dr2
que sumadas nos lleva a:
m1a1·dr1 + m2a2·dr2 = F1·dr1+F2·dr2+F12·(dr1-dr2)
(ecuación XVIII)
que podemos transformar de la siguiente manera:
m1(dv1/dt)·dr1 + m2(dv2/dt)·dr2 = F1·dr1+F2·dr2+F12·(dr1-dr2)
m1dv1·(dr1/dt) + m2dv2·(dr2/dt)
= F1·dr1+F2·dr2+F12·(dr1-dr2)
m1dv1·v1 + m2dv2·v2 = F1·dr1+F2·dr2+F12·(dr1-dr2)
m1v1dv1
+ m2v2dv2 = F1·dr1+F2·dr2+F12·dr12
Integrando desde un tiempo inicial t0 hasta un tiempo t
obtenemos:
m1∫v1dv1 + m2∫v2dv2 = ∫F1·dr1+∫F2·dr2+∫F12·dr12
m1(v12/2-v102/2)
+ m2(v22/2-v202/2) = W1,ext
+ W2,ext + Wint
y finalmente: Ec - Ec0 = Wext + Wint
(ecuación XIX)
Resulta evidente que si no hay fuerzas externas el término Wext
= 0, lo que nos lleva a que la variación de la energía cinética del sistema
solo puede ser debido a fuerzas internas.
Aún así, la mayor parte de los fenómenos cotidianos suponen sistemas
que interactúan con el entorno con lo que las fuerzas externas y, por tanto, el
trabajo externo suele aparecer como un parámetro a tener en cuenta. En la
colisión por ejemplo entre dos bolas es inevitable cierto grado de
participación de fuerzas externas como deformaciones por el propio choque o por
la existencia de fuerzas disipativas como las de rozamiento. En estos casos la
fuerza externa supone un consumo energético del sistema que se traduce en una
pérdida de la energía cinética del sistema. Es decir, que aun suponiendo que Wint
= 0 a causa de la ley de acción-reacción
debe considerarse en numerosas ocasiones Wext como valor negativo
para el sistema, por tanto Ec - Ec0 = -Wext o bien Ec =
Ec0 - Wext
(Todo el desarrollo
matemático hasta ahora nos ha llevado a una serie de leyes de conservación y de
variación. Si
sobre un sistema
no actúan fuerzas externas su momento lineal permanece constante. Esto implica
que si el sistema
se constituye de dos sub sistemas, el aumento del momento
lineal de uno supone una disminución de igual valor en
el otro. De la misma manera
también el momento angular de un sistema permanece constante cuando no actúan
fuerzas externas, lo que implica que si está constituido por dos sub sistemas,
el aumento del momento angular de
uno de ellos supone la disminución de igual
valor en el otro. Las mismas
condiciones podemos establecer
para la energía cinética. Sin embargo, insisto
una vez más, es imposible aislar por completo un sistema aunque si
podemos
llegar a aproximaciones más o menos aceptables. Un caso posible es considerar
una transición de un sistema
en un tiempo suficientemente breve como para
considerar que las únicas interacciones significativas sean las debidas
a las
fuerzas internas. En tal caso si podríamos admitir los principios de
conservación antes indicados)
1.1.5 Colisiones
La aproximación
entre dos partículas supone, debido a la mutua interacción, un intercambio de
momento lineal, momento angular y energía. Igual consideración podemos
establecer cuando la aproximación es entre dos sistemas de partículas. No es
necesario para ello que las dos partículas o sistemas hayan tenido un contacto
físico en el sentido microscópico, y aunque en el sentido macroscópico pueda
dar esa impresión (por ejemplo la colisión entre dos bolas de billar) la
realidad es que no ha sucedido realmente el contacto. De todas maneras es
suficiente con una aproximación de las partículas o de los dos sistemas en una
cierta región del espacio.
El cambio de la
trayectoria, las velocidades, momentos lineales, momentos angulares y energía
de cada partícula o sistema en un tiempo breve de la colisión se deben sólo y
exclusivamente a fuerzas internas. Esto supone la conservación global del
momento lineal, del momento angular y de la energía.
La energía del
sistema es la suma de su energía cinética y su energía interna. En el caso del
estudio de sistemas planetarios podría considerarse dentro de la energía
interna la energía potencial gravitatoria de los distintos astros, pero en el
caso de fenómenos que nos resultan más cotidianos y cercanos como podría ser el
choque entre dos bolas de billar, la energía interna se debe a un conjunto de
energías que poseen los distintos constituyentes o partículas elementales del
sistema, especialmente la energía potencial eléctrica, las cinéticas internas
debida a vibraciones atómicas, moleculares o incluso de núcleos, las causadas
por enlaces químicos, etc. Estas energías que globalizan a la interna del
sistema pueden verse afectadas en la colisión. Es más, probablemente siempre
ocurre ya que es casi imposible que un estado alterado retorne a su situación
inicial al nivel molecular. Aún así, y durante un determinado y muy breve
espacio de tiempo, podríamos despreciar estos cambios y considerar que la única
energía significativa en cuanto a transformación es la cinética.
Podemos, por tanto,
considerar dos tipos de colisiones: a) elásticas en las que la energía cinética
global permanece constante, b) inelástica en las que la energía cinética global
ha variado de valor y siempre disminuyendo.
En casos reales la
decisión de si una colisión es elástica o no tiene mucho que ver con las
condiciones en las que se ha producido. Cuando una bola de billar impacta con
poca velocidad sobre otra la pérdida de energía por deformaciones puede casi
despreciarse y considerar entonces que se mantiene la energía cinética global.
Cuando la colisión es intensa la deformación puede ser suficientemente
importante para tener en cuenta la variación de la energía cinética.
Definiremos el término Q como Q = Ec - Ec0. Por lo anterior es Q = 0
para una colisión elástica y Q ≠ 0 para una colisión inelástica.
(El caso específico
del choque entre dos bolas de billar puede ser un problema sumamente complejo.
Tener en cuenta
que el choque sucede con las bolas deslizándose o rotando sobre
un paño con el que sostienen un rozamiento. No
es por tanto el mismo caso que
una colisión entre dos bolas supongamos en el aire donde el rozamiento con el
aire
podría despreciarse sin afectar significativamente a los resultados. La bola de billar no
es un material rigurosamente
rígido sino que tiene cierta elasticidad, esto
implica que cuando dos bolas chocan inevitablemente se
produce una deformación
en ellas y que es la causa principal del deterioro de las mismas. La
deformación de las
bolas es mayor cuanto mayor sea la velocidad del impacto y
las consecuencias son muy distintas a las que
acaecen con velocidades pequeñas. Realmente podemos
estimar que el tiempo de la colisión es muy breve, lo que
implica que si bien
no podemos olvidar la deformación por el choque, sí podemos considerar nulo la
afectación del rozamiento con el paño en ese momento del choque. En cuanto a la
colisión de una bola en la
banda la complejidad es aún mayor debido a la gran
elasticidad de la propia banda que se deforma
ostensiblemente. La intensidad de
la deformación así como la forma geométrica de la deformación de la banda
es
muy variable y tiene mucho que ver con la velocidad, el ángulo e incluso la
rotación de impacto de la bola)
Veamos el caso
concreto de una colisión entre dos partículas (por ejemplo dos bolas de billar)
donde sólo tendremos en cuenta las fuerzas mutuas entre ellas y ninguna fuerza
externa como rozamientos, etc.
Las energías
cinéticas iniciales y finales del sistema serían:
Ec0 = ½ m1v1,02
+ ½ m2v2,02 = p1,02/(2m1)
+ p2,02/(2m2)
Ecf = ½ m1v1,f2
+ ½ m2v2,f2 = p1,f2/(2m1)
+ p2,f2/(2m2)
La pérdida de
energía sería: Q = Ecf - Ec0 (ecuación XX)
Q = p1,f2/(2m1) + p2,f2/(2m2)
- p1,02/(2m1) - p2,02/(2m2)
p1,f2/(2m1)
+ p2,f2/(2m2) = p1,02/(2m1)
- p2,02/(2m2) + Q (ecuación XXI)
Según se indicó en
la página anterior se verifica además el principio de conservación del momento
lineal:
p1,0 + p2,0 = p1,f
+ p2,f (ecuación XXII)
Las ecuaciones XXI
y XXII son suficientes para resolver el problema del choque completamente.
De acuerdo con la
ecuación VI, si referimos los choques al centro de masas el momento lineal es
cero, esto implica que:
p1,0 = - p2,0 y p1,f
= - p2,f que suponen las
mismas condiciones para sus módulos: p1,0 = - p2,0 y p1,f
= - p2,f
Sustituyendo en la
ecuación XXI:
½ (1/m1
+ 1/m2) p1,f2 = ½ (1/m1 + 1/m2)
p1,02 + Q
Y utilizando la
definición de masa reducida:
p1,f2/2µf
= p1,02/2µ0 + Q (ecuación XXIII)
En la que hemos
supuesto que µf ≠ µ0, es decir, que las masas de las
partículas antes y después del choque son diferentes. Esta consideración
normalmente siempre es cierta llevada a la escala microscópica y en el choque
entre dos bolas de billar también por la lógica pérdida de masa. Con un cierto
tiempo de margen el experimentador podrá comprobar que las bolas de billar
pesan cada vez menos como consecuencia de su uso.
No obstante, sin
contradecir lo anterior, podemos estimar que en un choque puntual la pérdida de
masa es despreciable y entonces µf = µ0 o bien:
p1,f2/2µ
= p1,02/2µ + Q (ecuación XXIV)
(En un choque hay
siempre un intercambio de momento lineal entre las partículas pero no necesariamente
un
intercambio de energía cinética entre ellas. Por ejemplo, si el choque es
elástico (Q = 0) y las partículas finales son las
mismas que las iniciales (sin
variaciones en sus masas) la ecuación XXIV da como resultado p1,0 =
p1,f, e igualmente
p2,0 = p2,f. De esta
manera, en el sistema del centro de masas, los momentos lineales del choque
elástico antes y
después tienen los mismos valores y las partículas retienen
sus energías cinéticas, o dicho de otro modo, no se
intercambian energía
cinética entre ellas con relación al centro de masas. Sin embargo ha habido un
intercambio del
momento lineal ya que las direcciones de sus movimientos han
sido cambiadas)
PROBLEMA CONCRETO
DEL CHOQUE ENTRE DOS BOLAS DE BILLAR
Sea la bola 1 la
que el jugador golpea a través de su taco para dirigirla hacia la bola 2. La
regla del billar exige que esta bola 2 deba estar en reposo. También vamos a
suponer que las masas de las bolas son idéntica entre ellas y antes y después
de la colisión.
Por el principio de
conservación del momento lineal se verifica:
v1,0 = v1,f + v2,f de donde v1,02 = v1,f2
+ v2,f2 + 2v1,f·v2,f·cos(q1+q2)
Por el principio de
conservación de la energía cinética se verifica:
v1,02
= v1,f2 + v2,f2 . Por tanto 2v1,f·v2,f·cos(q1+q2) = 0
Lo que implica que q1+q2 = 90º, es decir,
las velocidades de las dos bolas son perpendiculares entre sí.