DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 

1.1. RELACIONES FUNDAMENTALES 

1.1.1. Movimiento del centro de masa de un sistema de partículas 

Sea un sistema formado por tres partículas de masas m₁, m₂ y m₃, con velocidades respectivas v₁, v₂ y v₃ respectivamente en relación a un sistema inercial de referencia. 

Definiremos velocidad del centro de masa por: 

V_cm = (m₁v₁ + m₂v₂ + m₃v₃)/M (ecuación I) 

Siendo M = m₁ + m₂ + m₃ la masa total del sistema. 

Definiremos vector de posición del centro de masa por: 

r_cm = (m₁r₁ + m₂r₂ + m₃r₃)/M (ecuación II) 

Se deduce por aplicación de la derivada en (II): 

dr_cm/dt = v_cm (ecuación III) 

Igualmente y definido un momento lineal para cada partícula (p_i = m_iv_i) podemos establecer a partir de la ecuación I: 

v_cm = (p₁+p₂+p₃)/M = P (ecuación IV)

o bien P = Mv_cm (ecuación V) 

La ecuación V nos indica que el momento lineal del sistema de partículas coincide con el que tendría el centro moviéndose con velocidad v_cm como si toda la masa se concentrara en él. 

De hecho cuando se trata de estudiar el movimiento de cualquier cuerpo como un avión o una esfera compuesto por una inmensa cantidad de partículas hablamos de la velocidad del centro de masa al querer describir su movimiento y/o trayectoria. 

Cuando el sistema está aislado, sabemos por el principio de conservación del momento lineal que P es constante. Por tanto: el centro de masa de un sistema aislado se mueve con velocidad constante con relación a un sistema inercial y siempre suponiendo que las masas de las partículas no dependen de sus velocidades. 

En particular podemos considerar un sistema inercial de referencia en el centro de masa del sistema, lo cual implica obviamente que r_cm = 0 y que v_cm = 0. Este sistema de referencia lo denominaremos G y con respecto a él resulta: 

P_G = 0 (ecuación VI)

A veces al sistema G y justamente por lo anterior se le denomina sistema de referencia cero. 

(Cualquier símbolo escrito sin destacar en negrita se refiere a una magnitud escalar. La representación con resalte en negrita se refiere a una magnitud vectorial. P se refiere al momento lineal total del sistema de partículas. En un sistema aislado se consideran únicamente las fuerzas internas ejercidas entre las partículas. El sistema inercial es aquel que permanece en reposo o con velocidad constante en relación al cuerpo que se mueve. Quizás el lector entienda mejor esta referencia si tomamos el ejemplo de definir posiciones en la Tierra a partir de su centro de masa (supuesta en su centro geométrico) que es lo que entendemos como longitud o latitud terrestre)

Sea ahora un sistema S no aislado. Esto significa que las partículas además de interactuar entre ellas también lo hacen con otras partículas externas de un sistema S'. En el gráfico hemos representado el sistema S con nuestras tres partículas m₁, m₂ y m₃ y el sistema S' con dos partículas m₄ y m₅.

Si realmente sólo existen estas interacciones indicadas el conjunto S+S' se constituye como un sistema aislado y en tal caso: 

P_S+S' = constante ® P_S + P_S' = constante (ecuación VII)

Lo que implica que un aumento del momento lineal de S implica una disminución de igual valor del momento lineal de S', y viceversa.

DP_S = - DP_S' (ecuación VIII)

En definitiva, la interacción entre dos sistemas puede entenderse como un intercambio de sus momentos lineales.

Si aplicamos la derivada respecto al tiempo en la ecuación VII obtenemos:

dP_S/dt + dP_S'/dt = 0 ® F_S + F_S' = 0 ® F_S = - F_S' (ecuación IX)

siendo F_S y F_S' las fuerzas externas sobre cada uno de los sistemas. El hecho de que sean las fuerzas externas es debido a la anulación obligatoria de las fuerzas internas entre cada pareja de partículas dentro de cualquier sistema en base a la ley de acción-reacción de Newton o tercera ley de la dinámica. La ecuación IX establece pues que la ley de acción-reacción entre dos sistemas se verifica como si cada sistema se tratara de una partícula.

De la ecuación V obtenemos derivando respecto al tiempo:

F = dP/dt = M dv_cm/dt = M a_cm (ecuación X)

Con lo cual vemos que el centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sujeta a la fuerza externa aplicada al sistema (Física. Volumen I: mecánica. Alonso y Finn). 

(Los resultados expresados por las ecuaciones desarrolladas hasta ahora ponen de manifiesto que la interacción entre dos sistemas de partículas pueden ser descritos como si de dos partículas se trataran.  Es interesante relacionar la fuerza externa que actúa sobre un sistema con las fuerzas externas que actúan sobre cada una de las partículas de dicho sistema. Para abreviar supongamos que un sistema está constituido solo por dos partículas, designaremos F₁₂ la fuerza interna que la partícula 2 ejerce sobre la 1 y F₂₁ a la fuerza interna que ejerce 1 sobre 2. La ley de acción-reacción indica que: F₁₂ = - F_21. Llamemos F₁ a la fuerza externa sobre la partícula 1 debido a su interacción con otras partículas e igualmente F₂ a la fuerza externa sobre ella: La fuerza total sobre cada una es: dp₁/dt = F₁ + F₁₂; dp₂/dt = F₂ + F_21. La variación del momento lineal del sistema de las dos partículas es: dP/dt = dp₁/dt + dp₂/dt = F₁ + F_2. ya que F₁₂ + F₂₁ = 0. Por tanto la fuerza externa sobre un sistema de partículas es la suma de las fuerzas externas sobre cada una de las partículas del sistema (Física. Volumen I: mecánica. Alonso y Finn).) 

1.1.2 Masa reducida 

Vamos a suponer el caso de dos partículas sujetas solamente a la interacción entre ellas; este es el caso de que no actuara ninguna fuerza externa sobre ellas. Las dos partículas pueden ser dos bolas de billar en el momento del choque entre ellas y durante un instante breve donde otras fuerzas como las de rozamiento pueden obviarse. Las fuerzas internas mutuas entre ellas F₁₂ y F₂₁ donde lógicamente hemos considerado a las dos partículas como sistemas S y S' con la masa concentrada en su centro geométrico. En el siguiente esquema representamos las posiciones de cada una en relación a un sistema inercial de referencia así como las fuerzas mutuas:

 

Con respecto al observador inercial 0:

F₁₂ = m₁ dv₁/dt

F₂₁ = m₂ dv₂/dt

O sea:

dv₁/dt = F₁₂/m₁

dv₂/dt = F₂₁/m₂ 

Restando ambas ecuaciones: 

dv₁/dt - dv₂/dt = F₁₂/m₁ - F₂₁/m₂ 

Al ser F₁₂ = - F₂₁ tenemos que: 

d(v₁-v₂)/dt = (1/m₁ + 1/m₂) F₁₂ (ecuación XI) 

siendo v₁ - v₂ = v₁₂ la velocidad relativa de m₁ respecto a m₂ y por tanto d(v₁-v₂)/dt = dv₁₂/dt = a₁₂ que es la aceleración de m₁ relativa a m₂ 

Introducimos el concepto de masa reducida del sistema definido por: 

1/µ = 1/m₁ + 1/m₂ = (m₁+m₂)/(m₁·m₂) o bien: 

µ = (m₁·m₂)/(m₁+m₂) (ecuación XII) 

La ecuación XI puede ser entonces escrita bajo la forma: 

a₁₂ = F₁₂/µ ® F₁₂ = µa₁₂ (ecuación XIII) 

Lo que nos lleva a: el movimiento relativo de dos partículas sujetas únicamente a una interacción mutua es equivalente al movimiento, relativo a un observador inercial, de una partícula de masa igual a la masa reducida bajo una fuerza igual a la interacción de una de ellas.

 

(En el caso que m₁ = m₂ se verifica que µ = ½ m_1. En tal caso se verifica que: F₁₂ = ½ m₁ a₁₂₎

 

1.1.3 Momento angular de un sistema de partículas

 

El momento angular de una partícula con relación a un punto dado viene definido por

 

L = r Ù p = m r Ù v

 

Donde el símbolo "Ù" representa al producto vectorial

 

La derivación del momento angular de la partícula nos lleva a:

 

dL/dt = d(r Ù p/dt = m d(r Ù v)/dt = m [(dr/dt) Ù v + r Ù (dv/dt)] = m [v Ù v + r Ù (dv/dt)] =

 

= m (r Ù a) = r Ù ma = r Ù F = t (ecuación XIV)

 

Siendo t el momento de la fuerza o torque en relación a un punto dado.

 

Supongamos ahora un sistema de dos partículas, el torque sobre cada una de ellas será:

 

dL₁/dt = t₁ ; dL₂/dt = t₂

 

sumamos ambas: d(L₁+L₂)/dt = t₁ + t₂ (ecuación XV)

 

Supongamos que sobre cada partícula actúa una fuerza externa además de la que ejerce
sobre ella la otra:

 

t₁ = r₁ Ù (F₁ + F₁₂) = r₁ Ù F₁ + r₁ Ù F₁₂

 

t₂ = r₂ Ù (F₂ + F₂₁) = r₂ Ù F₂ + r₂ Ù F₂₁

 

Dado que F₁₂ = F₂₁:

 

t₁ + t₂ = r₁ Ù F₁ + r₂ Ù F₂ + (r₂ - r₁) Ù F₂₁

 

Y como el vector r₂ - r₁ está en la línea que contiene a ambas partículas y también en ella
se contiene F₂₁ el último sumando se anula obteniéndose:

 

d(L₁+L₂)/dt = t_1.ext + t_2.ext

 

generalizado a cualquier número de partículas obtenemos:

 

dL/dt = t_ext (ecuación XVI)

 

Por tanto: la rapidez de cambio del momento angular total de un sistema de partículas en
relación a un punto es igual al torque total en relación al mismo punto, de las fuerzas
externas que actúan sobre el sistema. Este enunciado se considera como ley fundamental de
la dinámica de rotación. 

(Si no hubiera fuerzas externas o casualmente la suma de los torques fuera cero sería: dL/dt = 0 y por tanto:

L = L₁ + L₂ = constante. Es decir: EL MOMENTO ANGULAR TOTAL DE UN SISTEMA AISLADO O SOBRE EL QUE
ACTÚA UN TORQUE TOTAL NULO ES CONSTANTE VECTORIALMENTE, ES DECIR, ES CONSTANTE EN VALOR Y EN
 DIRECCIÓN. La ecuación anterior implica además que: DL₁ = - DL_2. Con respecto a un sistema cualquiera formado
por un número de partículas debemos indicar que el aumento producido en el momento angular de una región de dicho
 sistema implica una disminución de igual valor en el resto. Esto siempre y cuando el sistema esté aislado o el torque
 total exterior sea nulo. Esta última connotación (torque total nulo) es frecuente, como en los casos donde la fuerza
externa está en la dirección del centro de masas G. En tal circunstancia dicha fuerza externa podrá provocar un
 cambio en el contexto de una traslación pero sin afectar a la rotación total del sistema) 

1.1.4. Energía cinética de un sistema de partículas 

Consideremos dos partículas de masas m₁ y m₂, sobre las que se ejercen respectivamente fuerzas F₁ + F₁₂ y F₂ + F₂₁, siendo F₁ y F₂ las fuerzas externas, y F₁₂ = - F₂₁ las fuerzas internas entre ellas iguales y de sentidos contrarios. Se verifica entonces: 

m₁a₁ = F₁ + F₁₂ y m₂a₂ =  F₂ + F₂₁ (ecuaciones XVII) 

sean dr₁ y dr₂ un infinitesimal desplazamiento en un tiempo dt de cada una de las partículas y tangentes a la trayectoria que cada una describe, efectuamos el producto escalar y será entonces: 

m₁a₁·dr₁ = F₁· dr₁ + F₁₂· dr₁ y m₂a₂· dr₂ =  F₂· dr₂ + F₂₁· dr₂ 

que sumadas nos lleva a: 

m₁a₁·dr₁ + m₂a₂·dr₂ = F₁·dr₁+F₂·dr₂+F₁₂·(dr₁-dr₂) (ecuación XVIII) 

que podemos transformar de la siguiente manera: 

m₁(dv₁/dt)·dr₁ + m₂(dv₂/dt)·dr₂ = F₁·dr₁+F₂·dr₂+F₁₂·(dr₁-dr₂) 

m₁dv₁·(dr₁/dt) + m₂dv₂·(dr₂/dt) = F₁·dr₁+F₂·dr₂+F₁₂·(dr₁-dr₂) 

m₁dv₁·v₁ + m₂dv₂·v₂ = F₁·dr₁+F₂·dr₂+F₁₂·(dr₁-dr₂) 

m₁v₁dv₁ + m₂v₂dv₂ = F₁·dr₁+F₂·dr₂+F₁₂·dr₁₂ 

Integrando desde un tiempo inicial t₀ hasta un tiempo t obtenemos:

 

m₁∫v₁dv₁ + m₂∫v₂dv₂ = ∫F₁·dr₁+∫F₂·dr₂+∫F₁₂·dr₁₂ 

m₁(v₁²/2-v₁₀²/2) + m₂(v₂²/2-v₂₀²/2) = W_1,ext + W_2,ext + W_int 

y finalmente: Ec - Ec₀ = W_ext + W_int (ecuación XIX) 

Resulta evidente que si no hay fuerzas externas el término W_ext = 0, lo que nos lleva a que la variación de la energía cinética del sistema solo puede ser debido a fuerzas internas. 

Aún así, la mayor parte de los fenómenos cotidianos suponen sistemas que interactúan con el entorno con lo que las fuerzas externas y, por tanto, el trabajo externo suele aparecer como un parámetro a tener en cuenta. En la colisión por ejemplo entre dos bolas es inevitable cierto grado de participación de fuerzas externas como deformaciones por el propio choque o por la existencia de fuerzas disipativas como las de rozamiento. En estos casos la fuerza externa supone un consumo energético del sistema que se traduce en una pérdida de la energía cinética del sistema. Es decir, que aun suponiendo que W_int  = 0 a causa de la ley de acción-reacción debe considerarse en numerosas ocasiones W_ext como valor negativo para el sistema, por tanto Ec - Ec₀ = -W_ext o bien Ec = Ec₀ - W_ext 

(Todo el desarrollo matemático hasta ahora nos ha llevado a una serie de leyes de conservación y de variación. Si
 sobre un sistema no actúan fuerzas externas su momento lineal permanece constante. Esto implica que si el sistema
 se constituye de dos sub sistemas, el aumento del momento lineal de uno supone una disminución de igual valor en
 el otro. De la misma manera también el momento angular de un sistema permanece constante cuando no actúan
fuerzas externas, lo que implica que si está constituido por dos sub sistemas, el aumento del momento angular de
 uno de ellos supone la disminución de igual valor en el otro. Las mismas condiciones podemos establecer
para la energía cinética. Sin embargo, insisto una vez más, es imposible aislar por completo un sistema aunque si
podemos llegar a aproximaciones más o menos aceptables. Un caso posible es considerar una transición de un sistema
 en un tiempo suficientemente breve como para considerar que las únicas interacciones significativas sean las debidas
 a las fuerzas internas. En tal caso si podríamos admitir los principios de conservación antes indicados)

1.1.5 Colisiones 

La aproximación entre dos partículas supone, debido a la mutua interacción, un intercambio de momento lineal, momento angular y energía. Igual consideración podemos establecer cuando la aproximación es entre dos sistemas de partículas. No es necesario para ello que las dos partículas o sistemas hayan tenido un contacto físico en el sentido microscópico, y aunque en el sentido macroscópico pueda dar esa impresión (por ejemplo la colisión entre dos bolas de billar) la realidad es que no ha sucedido realmente el contacto. De todas maneras es suficiente con una aproximación de las partículas o de los dos sistemas en una cierta región del espacio. 

El cambio de la trayectoria, las velocidades, momentos lineales, momentos angulares y energía de cada partícula o sistema en un tiempo breve de la colisión se deben sólo y exclusivamente a fuerzas internas. Esto supone la conservación global del momento lineal, del momento angular y de la energía. 

La energía del sistema es la suma de su energía cinética y su energía interna. En el caso del estudio de sistemas planetarios podría considerarse dentro de la energía interna la energía potencial gravitatoria de los distintos astros, pero en el caso de fenómenos que nos resultan más cotidianos y cercanos como podría ser el choque entre dos bolas de billar, la energía interna se debe a un conjunto de energías que poseen los distintos constituyentes o partículas elementales del sistema, especialmente la energía potencial eléctrica, las cinéticas internas debida a vibraciones atómicas, moleculares o incluso de núcleos, las causadas por enlaces químicos, etc. Estas energías que globalizan a la interna del sistema pueden verse afectadas en la colisión. Es más, probablemente siempre ocurre ya que es casi imposible que un estado alterado retorne a su situación inicial al nivel molecular. Aún así, y durante un determinado y muy breve espacio de tiempo, podríamos despreciar estos cambios y considerar que la única energía significativa en cuanto a transformación es la cinética. 

Podemos, por tanto, considerar dos tipos de colisiones: a) elásticas en las que la energía cinética global permanece constante, b) inelástica en las que la energía cinética global ha variado de valor y siempre disminuyendo. 

En casos reales la decisión de si una colisión es elástica o no tiene mucho que ver con las condiciones en las que se ha producido. Cuando una bola de billar impacta con poca velocidad sobre otra la pérdida de energía por deformaciones puede casi despreciarse y considerar entonces que se mantiene la energía cinética global. Cuando la colisión es intensa la deformación puede ser suficientemente importante para tener en cuenta la variación de la energía cinética. Definiremos el término Q como Q = Ec - Ec₀. Por lo anterior es Q = 0 para una colisión elástica y Q ≠ 0 para una colisión inelástica. 

(El caso específico del choque entre dos bolas de billar puede ser un problema sumamente complejo. Tener en cuenta
que el choque sucede con las bolas deslizándose o rotando sobre un paño con el que sostienen un rozamiento. No
 es por tanto el mismo caso que una colisión entre dos bolas supongamos en el aire donde el rozamiento con el aire
podría despreciarse sin afectar significativamente a los resultados. La bola de billar no es un material rigurosamente
 rígido sino que tiene cierta elasticidad, esto implica que cuando dos bolas chocan inevitablemente se
 produce una deformación en ellas y que es la causa principal del deterioro de las mismas. La deformación de las
 bolas es mayor cuanto mayor sea la velocidad del impacto y las consecuencias son muy distintas a las que
acaecen con velocidades pequeñas. Realmente podemos estimar que el tiempo de la colisión es muy breve, lo que
 implica que si bien no podemos olvidar la deformación por el choque, sí podemos considerar nulo la
afectación del rozamiento con el paño en ese momento del choque. En cuanto a la colisión de una bola en la
 banda la complejidad es aún mayor debido a la gran elasticidad de la propia banda que se deforma
ostensiblemente. La intensidad de la deformación así como la forma geométrica de la deformación de la banda
 es muy variable y tiene mucho que ver con la velocidad, el ángulo e incluso la rotación de impacto de la bola)

 

Veamos el caso concreto de una colisión entre dos partículas (por ejemplo dos bolas de billar) donde sólo tendremos en cuenta las fuerzas mutuas entre ellas y ninguna fuerza externa como rozamientos, etc.  

Las energías cinéticas iniciales y finales del sistema serían: 

Ec₀ = ½ m₁v_1,0² + ½ m₂v_2,0² = p_1,0²/(2m₁) + p_2,0²/(2m₂) 

Ec_f = ½ m₁v_1,f² + ½ m₂v_2,f² = p_1,f²/(2m₁) + p_2,f²/(2m₂) 

La pérdida de energía sería: Q = Ec_f - Ec₀ (ecuación XX) 

Q = p_1,f²/(2m₁) + p_2,f²/(2m₂) - p_1,0²/(2m₁) - p_2,0²/(2m₂) 

p_1,f²/(2m₁) + p_2,f²/(2m₂) = p_1,0²/(2m₁) - p_2,0²/(2m₂) + Q (ecuación XXI) 

Según se indicó en la página anterior se verifica además el principio de conservación del momento lineal: 

p_1,0 + p_2,0 = p_1,f + p_2,f (ecuación XXII) 

Las ecuaciones XXI y XXII son suficientes para resolver el problema del choque completamente. 

De acuerdo con la ecuación VI, si referimos los choques al centro de masas el momento lineal es cero, esto implica que:

p_1,0 = - p_2,0 y p_1,f = - p_2,f que suponen las mismas condiciones para sus módulos: p_1,0 = - p_2,0 y p_1,f = - p_2,f 

Sustituyendo en la ecuación XXI: 

½ (1/m₁ + 1/m₂) p_1,f² = ½ (1/m₁ + 1/m₂) p_1,0² + Q 

Y utilizando la definición de masa reducida: 

p_1,f²/2µ_f = p_1,0²/2µ₀ + Q (ecuación XXIII) 

En la que hemos supuesto que µ_f ≠ µ₀, es decir, que las masas de las partículas antes y después del choque son diferentes. Esta consideración normalmente siempre es cierta llevada a la escala microscópica y en el choque entre dos bolas de billar también por la lógica pérdida de masa. Con un cierto tiempo de margen el experimentador podrá comprobar que las bolas de billar pesan cada vez menos como consecuencia de su uso. 

No obstante, sin contradecir lo anterior, podemos estimar que en un choque puntual la pérdida de masa es despreciable y entonces µ_f = µ₀ o bien: 

p_1,f²/2µ = p_1,0²/2µ + Q (ecuación XXIV) 

(En un choque hay siempre un intercambio de momento lineal entre las partículas pero no necesariamente un
 intercambio de energía cinética entre ellas. Por ejemplo, si el choque es elástico (Q = 0) y las partículas finales son las
mismas que las iniciales (sin variaciones en sus masas) la ecuación XXIV da como resultado p_1,0 = p_1,f, e igualmente
 p_2,0 = p_2,f. De esta manera, en el sistema del centro de masas, los momentos lineales del choque elástico antes y
 después tienen los mismos valores y las partículas retienen sus energías cinéticas, o dicho de otro modo, no se
 intercambian energía cinética entre ellas con relación al centro de masas. Sin embargo ha habido un intercambio del
momento lineal ya que las direcciones de sus movimientos han sido cambiadas)

  PROBLEMA CONCRETO DEL CHOQUE ENTRE DOS BOLAS DE BILLAR 

Sea la bola 1 la que el jugador golpea a través de su taco para dirigirla hacia la bola 2. La regla del billar exige que esta bola 2 deba estar en reposo. También vamos a suponer que las masas de las bolas son idéntica entre ellas y antes y después de la colisión.

 

 

Por el principio de conservación del momento lineal se verifica: 

v_1,0 = v_1,f + v_2,f de donde v_1,0² = v_1,f² + v_2,f² + 2v_1,f·v_2,f·cos(q₁+q₂) 

Por el principio de conservación de la energía cinética se verifica:

v_1,0² = v_1,f² + v_2,f² . Por tanto 2v_1,f·v_2,f·cos(q₁+q₂) = 0

Lo que implica que q₁+q₂ = 90º, es decir, las velocidades de las dos bolas son perpendiculares entre sí.