LIBRO BILLAR METÓDICO-16

LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 

La Física establece que la suma de las cantidades de movimiento de cada bola antes de la colisión es igual a la suma de las cantidades de movimiento de cada bola después de la colisión. La cantidad de movimiento o momento lineal se define como la multiplicación de la masa por la velocidad. Supongamos que la bola 1 llega a la bola 2 con una velocidad incidente v, después del impacto la bola 1 sale con velocidad v₁ y la bola 2 con velocidad v₂. 

Vamos a hacer la aproximación de que las velocidades no se ven afectadas por el rozamiento, o sea, que las bolas mantienen la velocidad que tengan adquirida en cada momento. Sabemos que esto no es cierto ya que el rozamiento hace que las bolas se vayan frenando y tarde o temprano se paren. Considerando que las masas de ambas son iguales podemos también considerar que el rozamiento afecta por igual tanto a una como a otra, por eso en principio podemos despreciarlo, más aún si solo tenemos en cuenta el momento breve del impacto y los primeros momentos de salidas de las bolas. 

El principio de conservación establece que mv = mv₁ + mv₂, o bien v = v₁ + v₂. Esta ecuación iguala, como puedes ver, la velocidad de la bola 1 antes de golpear a la 2 con la suma de las velocidades de ambas después del choque. Dicho de otra manera: la suma de las velocidades de las dos bolas después de la colisión debe coincidir con la velocidad de la bola 1 no solamente antes de que choque sino incluso como si la bola 1 no hubiera chocado con la bola 2 y siguiera hacia delante en su trayectoria inicial. 

Dado que estamos considerando que las velocidades no se ven afectadas por el rozamiento de una forma significativa al menos en los primeros momentos después de la colisión, podemos considerar que las velocidades sean constantes antes de la colisión para la bola 1 y después de la colisión para las bolas 1 y 2. Esto significa que recorrerán iguales espacios para iguales tiempos para cada una de las bolas.

 

Una última cuestión a tener en cuenta: el movimiento de las dos bolas después de la colisión hace que se separen, no obstante hay entre ellas un centro de masas que está justamente en el centro de la distancia  entre ambas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En el diagrama podemos ver diferentes momentos (T1 a T9) de las posiciones de las bolas. Desde T1 hasta T5 la bola 1 viaja a una velocidad constante de 1,15 m/s mientras que la bola 2 evidentemente está en reposo. El choque se produce justamente en el instante T5. La línea roja indica la trayectoria del centro de masas que siempre es un punto medio del segmento que en cada momento forman las dos bolas. 

De T5 en adelante ya ha sucedido la colisión. Con las bolas celestes se representa la bola 1 como si no hubiera chocado con la bola 2. En este caso las velocidades y los ángulos de salida de cada bola son los indicados (0,78 m/s y 47,5º para la bola 1 y 0,85 y 42,5º para la bola 2). 

Para explicar estos valores de salida necesitamos el principio de conservación de la energía cinética además del principio de conservación de la cantidad de movimiento. De ellos dos deducimos:

 

v = v₁ + v₂ y v² = v₁² + v₂², siendo: v el vector velocidad de la bola 1 antes de la colisión y v su módulo, v₁ el vector velocidad de la bola 1 después de la colisión y v₁ su módulo, y v₂ el vector velocidad de la bola 2 después de la colisión y v₂ su módulo. 

La descomposición de la ecuación vectorial nos lleva a: v = v₁cosq₁ + v₂cosq₂ y v₁senq₁ = v₂senq₂, siendo q₁ y q₂ los ángulos de salida de las bolas 1 y 2 respectivamente en relación a la dirección de v. 

Si elevamos al cuadrado la ecuación vectorial obtenemos: 

v² = v₁² + v₂² + 2 v₁·v₂ cosq, siendo q el ángulo formado por v₁ y v₂ 

Del principio de conservación de la energía cinética obtenemos: v² = v₁² + v₂², que aplicada a la ecuación anterior nos lleva a v₁·v₂ cosq = 0, de donde q = 90º. Es decir: v₁ y v₂ son perpendiculares y por tanto forman entre sí 90º. 

En tal caso se debe verificar entonces: v₁ = v senq₂ y v₂ = v cosq₂ 

Lo anterior implica que si la bola 2 sale en una dirección que coincide con la línea que une los centros de ambas bolas en el momento de la colisión, la bola 1 debe salir por la línea tangente del punto de contacto de ambas. Realmente estas son las salidas iniciales aunque posteriormente pueden sufrir curvas como ya veremos más adelante. Estas curvas son consecuencias del punto de ataque alto o bajo en la bola 1 y de los efectos laterales. En principio consideraremos que la bola 1 ha sido golpeada justo en su centro geométrico y con taco plano.

 

Vamos a estudiar ángulos de salida y velocidades de salida de cada bola después de la colisión desde una situación de choque de bola llena hasta que la bola 1 pasa rozando a la bola 2. Como algunas de las teorías hacen alusiones a las tomas de bola, o incluso en el lenguaje coloquial de las tres bandas, consideraremos la bola 2 dividida primero en 8 partes que darán lugar al cuadro I y después en 12 partes que darán lugar al cuadro II. Consideremos el siguiente diagrama en el instante que la bola 1 choca con la bola 2 suponiendo, como dije antes, que la bola 1 ha sido golpeada justo en su centro con taco plano y que no trae en principio ningún tipo de rotación (esta cuestión es realmente imposible ya que la bola 1 al rodar sobre el tapete antes de chocar con la bola 2 desarrolla una rotación en torno al eje horizontal perpendicular a la trayectoria, lo que supondrá realmente una curva de salida de la misma). 

 

senq₂ = (x-R)/2R y cosq₂ = (1- sen²q₂)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CUADRO I

Toma de bola	x	senq2	cosq2	q2	q1
8/8=1	R	0	1	0º	90º
7/8	1,25R	0,125	0,992	7,18º	82,82º
6/8=3/4	1,5R	0,25	0,968	14,48º	75,52º
5/8	1,75R	0,375	0,927	22,02º	67,98º
4/8=1/2	2R	0,5	0,866	30º	60º
3/8	2,25R	0,625	0,781	38,68º	51,32º
2/8=1/4	2,5R	0,75	0,661	48,59º	41,41º
1/8	2,75R	0,875	0,484	61,04º	28,96º
0/8=0	3R	1	0	90º	0º

La velocidad de la bola 1 se obtiene multiplicando la velocidad de llegada por senq₂ y la velocidad de la bola 2 se obtiene multiplicando la velocidad de llegada por cosq₂. Comprueba que entre las tomas de bola 3/8 y 2/8=1/4 las velocidades de ambas son muy parecidas.

De los valores del ángulo q₁ en función de la toma de bola se deduce que la zona aproximada entre ¼ y ¾ de bola es la más fiable o menos sensible a los cambios en la dirección de la bola 1 y de la bola 2. En la medida de lo posible hay que intentar tomar siempre una cantidad de bola entre ¼ y ¾, y procurar evitar toma fina o llena. Esta consideración puede facilitar muchísimo la fiabilidad de la trayectoria que se pretenda en cada momento.

La extensión en el tema de la toma de bola se debe a la enorme importancia que este factor tiene en el desarrollo del juego del billar. Hasta ahora es un concepto que el billarista utiliza de una forma intuitiva. He podido comprobar que lo que uno entiende como media bola por ejemplo a otro le parece diferente. Realmente es a partir de la toma de bola cuando un jugador decide el resto de las variables: ataques altos o bajos, efectos laterales, velocidad, alargamiento del golpe, ángulo del taco. Esto implica que debe tener muy claro para cada posición qué cantidad de bola debe tomar. La situación más frecuente, por lo dicho anteriormente, y más fácil es entre ¼ y ¾  bola siendo por tanto la media bola la situación intermedia. Vuelvo a insistir, por la importancia que tiene, que el cuarto de bola o un poco más implica velocidades muy parecidas de la 1 y la 2. Esto debe tenerse en cuenta de una manera especial para evitar retruques no deseados o para el juego de la preparación. Pero también deberá tenerse en cuenta cuando un determinado sistema numérico o geométrico sugiere un alto riesgo de retruque. El jugador de billar es mucho más que imprimir un simple cuarto de bola y un efecto 2 por ejemplo.

 

Otros métodos basados en tomas de bola utilizan la división de la bola 2 dividiéndola en 12 partes. En tal caso los resultados son los del cuadro II.

CUADRO II 

Toma de bola	x	senq2	cosq2	q2	q1
12/12 = 1	R	0	1	0	90º
11/12	1,167R	0,083	0,997	4,76º	85,24º
10/12	1,333R	0,167	0,986	9,61º	80,39º
9/12 = ¾	1,5R	0,25	0,968	14,48º	75,52º
8/12	1,667R	0,333	0,943	19,45º	70,55º
7/12	1,833R	0,417	0,909	24,65º	65,35º
6/12 = ½	2R	0,5	0,866	30º	60º
5/12	2,167R	0,583	0,812	35,66º	54,34º
4/12	2,333R	0,667	0,745	41,84º	48,16º
3/12 = ¼	2,5R	0,75	0,661	48,59º	41,41º
2/12	2,667R	0,833	0,553	56,41º	33,59º
1/12	2,833R	0,917	0,399	66,49º	23,51º
0/12 = 0	3R	1	0	90º	0º

Las conclusiones son similares a las del cuadro anterior, observa de nuevo como se igualan las velocidades de las bolas 1 y 2 cuando se toma entre ¼ y 1/3.

 

 

 

 

 

 

 

 

LIBRO BILLAR METÓDICO-15

Otro hecho importante del diagrama de fuerzas anteriores es que la bola 2 también adquiere rotación y esta circunstancia deberá tenerse en cuenta en situaciones delicadas donde queremos evitar un retruque o cuando lleguemos al objetivo final de las tres bandas y del juego del billar en general como es la preparación.

 

Pero de momento es aún más importante conocer las trayectorias de salida de ambas bolas. La salida de la bola 2 es bien fácil ya que viene determinado por Fc₂ que es la fuerza dirigida hacia su centro de masa (Ft₂ solo le provoca la rotación). A los efectos prácticos es como si un taco ficticio golpeara a la bola 2 en la dirección de la línea que une los centros de ambas bolas. Ver siguiente diagrama:

Esta dirección es independiente de la velocidad con que la bola 1 impacta aunque sí puede variar con el efecto que tenga adquirida la bola 1 como veremos un poco más adelante. El problema de la trayectoria de salida de la bola 2 es fácil de resolver porque está inicialmente en reposo; problema muy diferente al de la bola 1 cuya salida no es evidentemente la de la fuerza Fc₁ como todos sabemos aunque sí es cierto que ella es la causante de que la trayectoria de la bola 1 se quiebre y salga con un ángulo diferente al de llegada salvo, claro está, la situación de bola llena. Para resolver este problema necesitamos acudir a la ley de conservación de la cantidad de movimiento.

LIBRO BILLAR METÓDICO-14

LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN 

Esta ley acompañada del fenómeno del rozamiento explica numerosos hechos que suceden en una mesa de billar. La ley en sí es muy simple: dos cuerpos se ejercen entre sí fuerzas iguales y de signos contrarios.

 

Cuando la bola 1 golpea a la bola 2 con una fuerza F, la bola 2 reacciona contra la 1 con igual fuerza pero de sentido contrario a la anterior. El hecho de que la bola 1 se ve frenada después del choque es precisamente por esa fuerza de reacción. Las dos fuerzas que las bolas se ejercen mutuamente.

 

En el gráfico anterior podemos ver la fuerza F₂ que la bola 1 ejerce sobre la 2, y la fuerza F₁ de reacción de la 2 contra la bola 1. Cada una de ellas se descomponen en fuerzas centrales Fc₂ y Fc₁ que son las causantes del rechace de ambos centros de masa, y de Ft₂ y Ft₁ que son las causantes de las rotaciones de salida de cada una representadas por las flechas curvadas.

 

Las consecuencias pueden ser importantes para la adecuada resolución de muchas posiciones cuando atacamos a la bola 2. Observa bien que la bola 1 toma una rotación derecha cuando se golpea a la bola 2 por la derecha. De la misma manera obtendríamos en la bola 1 una rotación izquierda cuando golpeamos a la bola 2 por la izquierda. Las siguientes posiciones clarifican muy bien esto:

 

 

 

 

 

LIBRO BILLAR METÓDICO-13

Otro factor importantísimo como consecuencia de la ley de acción es el choque de la bola con la banda. El problema es sumamente complejo y casi imposible de llevar a un modelo exacto que prevea los resultados obtenidos. En principio hay dos variables fundamentales como son la velocidad de llegada de la bola que se traduce en fuerza contra la banda y el ángulo de llegada. Estas dos son medibles y hasta controlables. Pero hay un tercer factor mucho más imprevisible como es la propia deformación de la banda. Afortunadamente los materiales de ahora están homogeneizados y son muy parecidos. El comportamiento de las bandas debe ser igual sea cual sea el billar donde jugamos, pero realmente y de una forma rigurosa esto no es así. Factores como la temperatura, la humedad, la suciedad y el tiempo de uso de la propia banda y del paño influyen. Esta situación nos lleva a un grado de incertidumbre que hace que unos billares se puedan comportar muy diferentes a otros.

Un estudio riguroso de la deformación de la banda al ser golpeada por la bola sólo sería posible tras un análisis de imágenes fijas de tal deformación en función de la velocidad y el ángulo con el que incide la bola. Tema que hasta ahora y que yo sepa no he podido obtener a través de algún estudio. Debemos por tanto intentar, más que realizar un estudio riguroso, comprender qué sucede en determinadas circunstancias.

 

Creo que todos entendemos como una obviedad que la deformación de la banda es mayor cuanto mayor sea la fuerza de impacto de la bola que deviene de su velocidad de incidencia. Pero el ángulo de incidencia es igualmente importante en cuanto que una incidencia de 0º supone máxima deformación. Es similar a la colisión entre una bola y otra como describí anteriormente.

La fuerza F de impacto de la bola contra la banda tiene dos componentes: Ft (fuerza tangencial) que no tiene ninguna influencia sensible sobre la deformación de la banda y que afectará como ya veremos más adelante a la rotación de salida de la bola; Fn (fuerza normal) que es la que provoca la deformación de la banda. Una cuestión importante es que aunque breve existe un tiempo medible de deformación paulatina de la banda mientras la bola entra y una recuperación también paulatina de la banda mientras la bola sale. Esto significa que el perfil recto de la banda se curva modificando incluso su forma en tales tránsitos. La forma de la curva de deformación  solo es simétrica en el caso de una incidencia vertical.

En tal incidencia vertical Ft = 0 y Fn = F, es decir, que toda la fuerza que ejerce la bola contra la banda se invierte en deformación de ésta y no proporciona ninguna rotación en la salida de la bola 1. Es la situación de máxima penetración de la bola en la banda. Otra cuestión importante es que consideraremos que la bola deforma a la banda y en ello se consume una energía, pero esta energía es devuelta a la bola cuando la banda recupera por completo su perfil inicial. Rigurosamente esto no es cierto ya que siempre hay una pérdida de energía pues la situación final de la banda no es nunca más igual a la anterior. De hecho y por esta razón las bandas envejecen y hay que cambiarlas transcurrido un tiempo. No obstante para el instante breve de una colisión podemos considerar este principio de transformación de energía.

En la siguiente figura vemos la deformación de una banda cuando se produce una colisión vertical.

Esta simetría en la deformación obliga a la bola a retornar por la misma dirección que la de incidencia. Cuando la bola incide en la banda con un ángulo diferente a 0º la deformación de la banda es asimétrica sufriendo la zona opuesta a la llegada mayor deformación tal como podemos ver en la siguiente figura.

El arco rojo indica la zona de contacto de la bola con la banda cuando ésta se deforma. La fuerza que la bola le comunica a la banda lo hace en todos los puntos de la franja roja. He representado tres de estos puntos, el extremo izquierdo, el extremo derecho y un punto medio donde las fuerzas son respectivamente Fi, Fd y Fm aunque son iguales entre sí.

 

Pero estas tres fuerzas ya no inciden sobre una banda de perfil horizontal. La fuerza Fi incide sobre el perfil indicado con el segmento 1i-2i, la fuerza Fd incide sobre el perfil 1d-2d, y la fuerza Fm incide sobre el perfil 1m-2m. A los efectos reales y para cada uno de esos puntos es como si la banda tuviera la forma de dicho perfil. Evidentemente hay otra infinidad de puntos de contactos pero estos tres pueden ser representativos de todos ellos. La mitad de la bola izquierda (zona rojiza) contiene una franja roja mayor que la derecha, esto implica que el número de perfiles tipos 1i-2i o 1m-2m superan a los del tipo 1d-2d, es decir, los perfiles desviados en el sentido contrario a las agujas del reloj predominan sobre los otros.

 

Lo anterior implica una influencia de la banda como si ésta se girara un cierto ángulo en su contacto con la bola, para que lo entiendas mejor sería algo similar a la siguiente figura:

Lo que implica un ángulo de reflexión en realidad menor al de incidencia (con efecto cero). Esta disminución puede ser suficientemente significativa cuando se imprime una alta velocidad y puede llevar incluso a un retorno en el sentido del mismo ángulo de incidencia.

 

El hecho no tiene importancia para ángulos de incidencia próximo a 0º pero si puede importante para otros valores con velocidades rápidas.