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martes, 25 de febrero de 2014

LIBRO BILLAR METÓDICO-11

LEY DE ACCIÓN 

Es la famosa ley de Newton F = ma donde "F" es la fuerza impresa a la bola, "m" es la masa de la bola y "a" su aceleración que supuesta constante es igual a v/t. La ley se convierte entonces en F = mv/t o bien F·t = m·v. 

La fuerza "F" es la suministrada a la bola jugadora por el taco. Esta fuerza es, en el momento de contacto del taco con la bola, resultante de dos componentes: a) la que se suministra por la inercia del propio taco en su movimiento de último limaje hacia delante, b) la que se suministra por el músculo del jugador. Evidentemente la inercia del taco también ha sido suministrada por el músculo del jugador pero habría dos formas extremas de golpear la bola: la primera sería como si en el último limaje con el taco ya viajando hacia delante lo soltáramos, la segunda es que además del golpe del taco por su propia inercia el jugador sigue aportando un esfuerzo muscular. Lo frecuente sin duda es lo segundo ya que prácticamente ningún jugador suelta el taco en el último limaje; no obstante podríamos sentir curiosidad por saber qué sucedería si lo hiciéramos. 

"t" es el tiempo de contacto de la suela del taco con la bola en el momento del golpe, este tiempo es real y de un cierto valor medible, lo que implica que ciñéndonos rigurosamente al reglamento de juego, todos los jugadores cometemos falta ya que estamos durante un tiempo empujando la bola y durante ese tiempo suela y bola permanecen en contacto. 

La ecuación anterior Ft = mv pone de manifiesto un hecho muy interesante: podemos doblar por ejemplo la velocidad de la bola de dos formas, una es doblando la fuerza F, la otra es doblando el tiempo de contacto t. Esto último tiene mucho que ver con lo que denominamos penetración del golpe. En un golpe muy penetrado podemos lograr una alta velocidad de traslación y de rotación sin necesidad de un esfuerzo muscular adicional, simplemente aumentamos el tiempo de contacto y de esta forma logramos el mismo objetivo. Si en cambio queremos un golpe de poca velocidad o poca rotación daremos o bien un golpe con menor esfuerzo muscular F o bien un golpe simplemente menos penetrado o corto.
 
Las dos siguientes posiciones se pueden lograr con el mismo efecto y la misma toma de bola pero en el caso izquierdo damos un golpe muy penetrado y en el izquierdo un golpe acortado.

Las posiciones anteriores son dignas de estudiarse un poco más y aprovechar para romper algunos prejuicios o errores de ejecución. Por razones que demostraré más adelante, el golpe muy penetrado de la figura conviene con una velocidad moderada, mientras que el golpe acortado conviene con una velocidad rápida. Esto es así porque cuanta mayor velocidad mayor rechace sufrirá la bola 1 al tocar a la bola 2 y las líneas se cerrarán. También conviene levantar un poco en el golpe penetrado para obtener una curva que favorezca la llegada de la bola 1 al rincón.

miércoles, 19 de febrero de 2014

LIBRO BILLAR METÓDICO-10

La ignorancia afirma o niega rotundamente;
la ciencia duda.
Voltaire




Capítulo 2.- LA FÍSICA DEL BILLAR

No se trata en este capítulo de realizar un estudio exhaustivo de los fundamentos de la física aplicados al billar, incluso ni siquiera excesivamente riguroso. Se trata de estudiar aquellos hechos, sucesos o fenómenos analizando los por qué de cada uno para que el billarista pueda explotarlos en su propio beneficio. Ni siquiera la propia física ha podido encontrar un modelo matemático perfecto para explicar todo lo que sucede en el billar: los deslizamientos de las bolas sobre el paño, las colisiones entre ellas y la colisión de la bola contra la banda son muy complejos al intervenir parámetros a veces difíciles de establecer y evaluar. Realmente y de una forma inconsciente el jugador de billar es un físico investigador desde el punto de vista empírico ya que permanentemente está experimentado con las bolas y el resto del material, otra cosa es que sea capaz o no de clasificar dicha información y de buscar relaciones matemáticas fundamentadas en los principios de la física. Normalmente puede parecer esto último poco útil para un billarista que se siente más preocupado por el "cómo" y no tanto por el "por qué".
Cuando jugamos la teoría de diamantes saliendo desde 50 hacia el 30 ¿cuál es la razón por la que llega a 20? Cuando golpeamos en el ancho del billar perpendicular hacia la banda larga con efecto 4 ¿por qué logramos una apertura de dos diamantes? Cuando jugamos un plus con salida 40 hacia el 20 ¿por qué alcanzamos el 60 de llegada? En realidad sabemos que lo hace, muchos años de experimentación de todos los jugadores lo ponen de manifiesto y nadie duda que así suceden ¿Tendría sentido entonces preguntarse el por qué? Esto depende evidentemente del grado de curiosidad de cada jugador.
Pero si nos preguntamos: ¿Por qué una bola golpeando fuerte a otra describe una trayectoria diferente que si la golpeamos suave? ¿Por qué una bola cierra o abre ángulos de salida cuando golpea una banda y qué tiene que ver la velocidad en este fenómeno? ¿Qué influencia puede tener dar o no dar efecto a la bola jugadora cuando golpea a la bola 2 en las trayectorias posteriores de ambas? ¿Qué velocidad debemos imprimir a una bola o en qué punto debemos atacarla para que vaya perdiendo la rotación gradualmente hasta el lugar que nos interesa? ¿Cómo podemos disminuir el número de variables (velocidad, altura de ataque, efecto, toma de bola, ángulo del taco, limajes, penetración del golpe) para lograr un determinado objetivo pero de una manera más simple?
Las ventajas de los sistemas sean numéricos, geométricos o posicionales es que además de que funcionan nos aportan información que puede ser sumamente útil para intentar entender el por qué.
Curiosamente y a pesar de la complejidad no hay muchos aspectos físicos a tener en cuenta. Casi todo lo que sucede se debe en definitiva a: el golpe del taco sobre la bola jugadora, la colisión de una bola con otra, el rozamiento de las bolas con el paño y la interacción entre la bola y la banda.
Igualmente también hay unas leyes básicas simples de la física que pueden explicar los hechos anteriores:
- La ley de acción por la cual un cuerpo incrementa o disminuye su velocidad cuando actúa sobre él una fuerza, y también se desvía de una trayectoria rectilínea.
- La ley de acción-reacción por la cual dos cuerpos se ejercen entre sí fuerzas iguales y de sentidos contrarios.
- La ley de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de varios cuerpos por la cual se mantiene la multiplicación masa por velocidad constante si solo actúan fuerzas entre ellos como en el caso de un choque de una bola con otra.
- La ley de conservación del momento angular por la cual se mantiene constante para un sistema de varios cuerpos el producto distancia eje de giro por masa por velocidad si solo actúan fuerzas entre ellos.
- La ley de conservación de la energía por la cual la energía se puede transformar de un tipo a otro pero mantener el valor global constante.

- La ley de rozamiento por la cual un cuerpo sufre una fuerza contraria a su movimiento cuando desliza sobre otro o a través de otro.
 




lunes, 10 de febrero de 2014

LIBRO BILLAR METÓDICO-9

ÚLTIMAS CONSIDERACIONES SOBRE EL MECANISMO DINÁMICO
 
Un error habitual en muchos jugadores es el giro hacia dentro o hacia fuera de la muñeca trasera en el momento del golpe. Es un gesto parecido al que hacemos con la muñeca cuando conducimos un ciclomotor y queremos acelerar o desacelerar. La razón fundamental es no disciplinar el limaje que debería hacerse sólo y exclusivamente con el giro en el codo siendo la mano algo así como una parte rígida a modo de prolongación del brazo.
 
Casi siempre este gesto se ve incrementado especialmente cuando queremos dar mucho efecto y específicamente cuando queremos tomar muy poca bola 2. En los siguientes gráficos se detallan estas situaciones justo en el momento que estamos golpeando la bola jugadora.
 
 
A veces es difícil de arreglar este problema para un jugador que está haciéndolo desde hace años a pesar de que pone todo el empeño en resolverlo. Mi antiguo compañero de equipo Baldomero Mira solía emplear un pequeño truco: tras analizarse cuándo y bajo qué circunstancias le ocurría decidió colocar la mano ya girada en los limajes previos hacia el sentido previsto de la desviación con lo cual ya no es posible girarla más y de esta manera mantiene la rectitud adecuada en el golpe. Gran parte de las pifias que cometemos se deben a este problema. 
Otra cuestión a plantear y siempre dejando claro que el limaje debe basarse fundamentalmente en el movimiento sólo y exclusivo del brazo es la posibilidad, al menos de los jugadores más experimentados, de aprovechar el giro de la muñeca pero no en sentido lateral sino el del propio taco (hacia delante y hacia atrás). Esto es independiente de la presión que la mano ejerce sobre el taco aunque deben tenerse también en cuenta los aspectos de la flexibilidad del golpe.
 
La ventaja del muñequeo longitudinal es que podemos aumentar unos centímetros el alargamiento tanto del limaje como de la penetración a la hora de golpear y efectuar jugadas con dosis de mayor calidad.
 
Este sería el gesto si solo giramos en el codo y no en la muñeca, la pequeña desviación en la mano se debe sólo y exclusivamente a que el brazo oscila hacia delante y hacia atrás.
 
Este será el gesto si además giramos la muñeca con lo que ganamos unos cuantos centímetros de alargamiento.
 
 
La teoría del juego de muñeca se debe a los juegos cortos o de serie, de hecho sería agotador jugar por ejemplo la serie americana a libre sólo y exclusivamente con el movimiento de antebrazo, pero tiene sentido ya que se trata de ir realizando largas series de 200, 300, etc carambolas. No sucede frecuentemente esto ni mucho menos en tres bandas. 
Por otro lado en tres bandas inevitablemente la bola jugadora recorre muchos metros y es desaconsejable jugar solo con el gesto. Realmente el gesto de antebrazo es el correcto desde la perspectiva ortodoxa y la muñeca puede ser un recurso ocasional que en todo caso debe practicar solo el jugador más avanzado. 
Otro aspecto importante es que el jugador debe permanecer algunos segundos sin levantarse una vez ha tirado. Es cierto que una vez ha tirado esto no tiene ninguna influencia pero es conveniente porque a veces lo hace en el momento que está dando el golpe. Así que hay que hacerlo siempre como una disciplina para garantizar todos los conceptos del golpe que tenía previsto sin desviaciones de última hora. 
Aunque tiene más que ver con la marcha del juego pero al estar relacionado de alguna manera con la posición, comento que otro error importante es el que tienen algunos jugadores que, una vez agachados y en el tránsito de los limajes, giran la cabeza mirando a la bola 3. Este gesto a veces inconsciente no tiene sentido ya que la bola no se ha podido mover y su situación debe estar clara desde el acto de pre visualización de la jugada. Ese gesto en muchas ocasiones llevan al prejuicio y comenten errores en la ejecución. La frase "una posición se concibe con las tres bolas pero sólo se ejecuta con dos" me parece una de las más importantes en el billar de carambolas y explica muy bien que la concentración máxima una vez agachados y limando debe ponerse en la bola 1 y en la bola 2, cualquier otro aspecto disminuye esta concentración. 
No he citado posiciones específicas para las jugadas de masé o piqué o aquellas que la posición de la bola 1 y la dirección de ataque dificultan una colocación correcta y firme de la mano delantera. Lo dejaré para capítulos posteriores. Son jugadas además poco frecuentes en las tres bandas pero, no obstante, conviene hacer algún comentario al menos sobre los principios básicos de la posición de las manos tanto delantera como trasera. Para familiarizarse con las jugadas de masé y piqué recomiendo empezar a practicarlos desde los juegos cortos donde la bola recorrerá espacios menores que en las tres bandas y después ir poco a poco adaptándolos a esta modalidad. Normalmente la dirección de ataque para un masé o un piqué que pretendan simplemente una curva y no tanto una fuerte jugada de corrido o de retroceso es coincidente con la de bola fina. Cuando vas a jugar una toma de bola fina imaginas que ya estás agachado y colocado, pues bien, el masé o el piqué será simplemente avanzando los pies pero el taco se elevará en el mismo plano que la jugada con taco horizontal. 
Y ya para finalizar este capítulo recomiendo como norma general que el taco esté lo más horizontal posible. Esto es casi obligatorio sobre todo para jugadas donde la bola 2 o el punto de ataque a banda están lejanos y queremos imprimir efecto, siempre aparece una inevitable curva que rompe con la línea de ataque prevista. Pero incluso en casos de bola 2 cercana hay una pequeña desviación imperceptible por culpa de un pequeño salto de la bola jugadora. Tenga en cuenta que cuando levantamos el taco por la parte trasera estamos dirigiendo el ataque hacia el paño del billar e inevitablemente la bola siempre salta. Este fenómeno aparece de una manera clara en los ataques fuertes. Así pues no indicaré en las posiciones que se van a estudiar el ángulo del taco dando por supuesto que siempre es horizontal. Solo en los casos que sea necesario subir el ángulo se indicará.
 
 
 
 
 

martes, 4 de febrero de 2014

CAMPEONATO DE ESPAÑA SUB 25 DE BILLAR A TRES BANDAS

DAVID ZAPATA
Clasificacion XV Cto. España Sub'25 3B.pdf
 
 
 
 
 
 

XIV CAMPEONATO DE ESPAÑA DE BILLAR A TRES BANDAS FEMENINO

Marta Serratmijana se ha proclamado Campeona de España de Billar a tres bandas. Enhorabuena.
 
 
 
 
RESULTADOS GENERALES:
 
CLASIFICACIÓN FINAL
  NOMBRE FED. J G E P CAR ENT PROM
1 Marta Serratmijana Cat 4 3 0 1 71 181 0,392
2 Estela Cardoso Mur 4 3 0 1 74 147 0,503
3 Eva Juliá Cat 3 1 0 2 50 130 0,385
3 Yeimi A. Mancipe Cat 3 2 0 1 53 140 0,379
5 Susana Riera Val 3 1 0 2 16 144 0,111
6 Celia Porras Mad 3 0 0 3 6 130 0,046

 

miércoles, 29 de enero de 2014

LIBRO BILLAR METÓDICO-8

PARADIÑA 

Aunque ya hablé de ella en LIMAJE merece quizás un estudio específico. Denomino paradiña a la parada de la mano trasera en el último limaje y siempre atrás. Sé que hay jugadores que la realizan delante pero entonces las funciones son muy diferentes. 

La paradiña delante puede ser una técnica de última revisión del punto de ataque y de la toma de bola 2, pero obliga a un limaje más hacia atrás y hacia delante. Mi recomendación es hacerla detrás ya que sobre todo garantiza la penetración y un golpe con buena calidad. Se supone que el jugador tiene ya un buen hábito de rectitud en el golpe y no debe ser problema esta parada última. Muchos jugadores la utilizan y en referencia a los grandes maestros he observado la variedad de que unos la utilizan y otros no.
 
No lo considero por tanto, al menos actualmente, como un modelo obligatorio que hay que realizar y depende más bien de la decisión de cada jugador y de su experiencia sobre los resultados obtenidos. No lo utilizaré por tanto como un detalle de ejecución. Personalmente yo sí suelo utilizarla aunque no siempre ni en todos los casos.

martes, 28 de enero de 2014

NUEVO RÉCORD DE DANI SÁNCHEZ

 
En el GRAN PREMIO DE ESPAÑA DE BILLAR A TRES BANDAS - IV TROFEO COMUNIDAD DE MADRID, Dani Sánchez ha batido el récord nacional de competición con los siguientes resultados parciales:
 
- Dieciseisavos de final (contra Valentín Andaluz, A.): 40 en 12 entradas
- Octavos de final (contra Jaime Sánchez Faraco): 40 en 21 entradas
- Cuartos de final (contra Jesús Jiménez): 40 en 18 entradas
- Semifinales (contra David Martínez): 40 en 16 entradas
- Final (contra Alfonso Legazpi): 40 en 15 entradas
 
Total: 200 carambolas en 82 entradas. Promedio = 2,439

jueves, 16 de enero de 2014

LOLA GRANADOS

DIARIO EL PAÍS - SÁBADO 4 DE JULIO DE 2009

Reportaje:SINGULARES | Lola Granados Brunton, subcampeona del mundo de billar

La reina de la mesa

La jugadora fue reconocida por la Comunidad como mejor deportista del año

 
¿Cómo llega una trabajadora de banco que gestionaba fondos de compensación a convertirse en subcampeona del mundo y varias veces campeona de España de billar? Esta es la historia de Lola Granados Brunton (Madrid, 1971), la reina de la mesa, la mujer más conocida del MasterPool (el famoso local de billares de Doctor Fleming) y una perfecta desconocida en su ciudad natal, a pesar de haber recibido la medalla de la Comunidad de Madrid a la mejor deportista del año (2001), de haber doblado películas con sus manos y sus tacos y de que en una de las salas más grande de España, el Grand Match, haya una mesa que lleva su nombre.
 
Todo comenzó en la Colonia Banesto. "Antiguamente era tradicional que los puestos en los bancos pasaran de padres a hijos. Yo empecé Empresariales muy ufana y al mes ya estaba trabajando con mi padre en el banco, como mis hermanos", cuenta con una cerveza en la mano desde la barra del MasterPool.
"Alguna vez he sacado a alguno del cuello de la camisa a la calle por bocazas"
A nadie se le olvida que es capaz de meter todas las bolas en 59 segundos
"Mi padre odiaba que jugara y tenía que ir con los tacos escondidos"
Una mesa de una de las salas más grandes de España lleva su nombre
Eran muchos los empleados de Banesto que vivían en esa colonia en la Gran Vía de Hortaleza. Allí había un club social y un billar francés (de los que no tienen agujeros para colar las bolas). Estaba prohibida la entrada a menores de edad, pero a Lola la colaba uno de sus hermanos mayores (tiene cinco). Ella es la pequeña de una familia que se quedó huérfana de madre cuando sólo tenía 10 años. Casi la misma edad en la que cogió el primer taco. Nunca pensó que aquellas partidas furtivas acabaran convirtiéndose en un futuro en su modo de vida.
 
Y ocurrió algo inesperado. El Banco de España interviene la entidad en 1994. El famoso caso Banesto, con un agujero patrimonial de 3.636 millones de euros, dejó a decenas de empleados en la calle y a su presidente Mario Conde en la cárcel por delitos de estafa y apropiación indebida. Mientras Mario Conde pasaba sus días a la sombra, Lola los pasaba en el paro. "Fue un 28 de diciembre, me acuerdo perfectamente, y de pronto me encontré con 23 años sin trabajo y sin la menor idea de cómo encontrarlo", dice.
 
En esa situación, las visitas al Brown Square, el pub de al lado de su casa, empezaron a hacerse más frecuentes. "Me bajaba todas las tardes, ¿qué iba a hacer?", se ríe. "No tenía un duro pero allí había un billar y se jugaba al rey de la mesa, o sea, que si ganabas seguían jugando y pagaba el que entraba", explica.
 
Y así fue como se licenció y se doctoró en el juego del billar y en el trato con los hombres y, con el tiempo, encontró trabajo y marido. "Es un mundo muy masculino y alguna vez he tenido que sacar a alguno del cuello de la camisa a la calle por bocazas. Una vez resultó ser el hijo de un poli que se había picado y fue a llamar a su padre, que vino a poner orden, imagínate la escena. Las tías que jugaban, que solían ser las novias de los dueños de los garitos, directamente no querían jugar conmigo", dice y le sale su vena más macarra. "En este mundo hay que ser así, lo que tiene el billar es que hay de todo, aquí no hay clases ni hostias, están los jugadores, las bolas y los tacos y punto".
Alrededor de una mesa ha coincidido con gente de la más alta y de la más baja estofa. Desde el cantante Alex Ubago a humoristas como José Luis Coll o Millán Salcedo (de Martes y Trece), o toreros, deportistas y mafiosos.
 
Empezó a hacerse un nombre en el circuito y uno de los chicos que frecuentaba el Brown Square le sugirió que se inscribiera en los clasificatorios del Campeonato de España. Corría el año 1995 y Lola se plantó en el Duncan (calle de Montesa), donde se cocían todas las competiciones de billar americano por aquel entonces. Se inscribió, se fue a Santander, compitió, ganó en varias categorías. "El premio mayor fue de 100.000 pesetas [600 euros]", recuerda.
 
"Llamé a mi padre, que odiaba que jugara al billar y que me obligaba a salir de casa escondiendo los tacos, y le dije que había ganado. No le dio importancia hasta que lo vio en el periódico". Y así, una tras otra: Polonia, Luxemburgo, Italia, Las Vegas, Holanda, Portugal, Las Vegas otra vez... Más de 10 años jugando profesionalmente al billar y ahora, ya retirada, cuando le entra el mono juega por Internet.
 
"Lo dejé porque me cansé de la noche, llega un momento en que se hace imposible llevar una vida normal y compatibilizarlo con un trabajo normal", explica.
 
No obstante, sigue siendo una eminencia en el Máster Pull: a nadie se le olvida que es capaz de meter todas las bolas en 59 segundos. Allí saluda a diestro y siniestro y los camareros le llevan el teléfono a la mesa cuando tiene una llamada, en este caso del propietario del local y antiguo patrocinador suyo. Y es que, hoy por hoy, mientras no haya otra Lola sigue siendo la reina de la mesa.

martes, 14 de enero de 2014

DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS


1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 

1.1. RELACIONES FUNDAMENTALES 

1.1.1. Movimiento del centro de masa de un sistema de partículas 

Sea un sistema formado por tres partículas de masas m1, m2 y m3, con velocidades respectivas v1, v2 y v3 respectivamente en relación a un sistema inercial de referencia. 

Definiremos velocidad del centro de masa por: 

Vcm = (m1v1 + m2v2 + m3v3)/M (ecuación I) 

Siendo M = m1 + m2 + m3 la masa total del sistema. 

Definiremos vector de posición del centro de masa por: 

rcm = (m1r1 + m2r2 + m3r3)/M (ecuación II) 

Se deduce por aplicación de la derivada en (II): 

drcm/dt = vcm (ecuación III) 

Igualmente y definido un momento lineal para cada partícula (pi = mivi) podemos establecer a partir de la ecuación I: 

vcm = (p1+p2+p3)/M = P (ecuación IV)

o bien P = Mvcm (ecuación V) 

La ecuación V nos indica que el momento lineal del sistema de partículas coincide con el que tendría el centro moviéndose con velocidad vcm como si toda la masa se concentrara en él. 

De hecho cuando se trata de estudiar el movimiento de cualquier cuerpo como un avión o una esfera compuesto por una inmensa cantidad de partículas hablamos de la velocidad del centro de masa al querer describir su movimiento y/o trayectoria. 

Cuando el sistema está aislado, sabemos por el principio de conservación del momento lineal que P es constante. Por tanto: el centro de masa de un sistema aislado se mueve con velocidad constante con relación a un sistema inercial y siempre suponiendo que las masas de las partículas no dependen de sus velocidades. 

En particular podemos considerar un sistema inercial de referencia en el centro de masa del sistema, lo cual implica obviamente que rcm = 0 y que vcm = 0. Este sistema de referencia lo denominaremos G y con respecto a él resulta: 

PG = 0 (ecuación VI)

A veces al sistema G y justamente por lo anterior se le denomina sistema de referencia cero. 

(Cualquier símbolo escrito sin destacar en negrita se refiere a una magnitud escalar. La representación con resalte en negrita se refiere a una magnitud vectorial. P se refiere al momento lineal total del sistema de partículas. En un sistema aislado se consideran únicamente las fuerzas internas ejercidas entre las partículas. El sistema inercial es aquel que permanece en reposo o con velocidad constante en relación al cuerpo que se mueve. Quizás el lector entienda mejor esta referencia si tomamos el ejemplo de definir posiciones en la Tierra a partir de su centro de masa (supuesta en su centro geométrico) que es lo que entendemos como longitud o latitud terrestre)

Sea ahora un sistema S no aislado. Esto significa que las partículas además de interactuar entre ellas también lo hacen con otras partículas externas de un sistema S'. En el gráfico hemos representado el sistema S con nuestras tres partículas m1, m2 y m3 y el sistema S' con dos partículas m4 y m5.






Si realmente sólo existen estas interacciones indicadas el conjunto S+S' se constituye como un sistema aislado y en tal caso: 

PS+S' = constante ® PS + PS' = constante (ecuación VII)

Lo que implica que un aumento del momento lineal de S implica una disminución de igual valor del momento lineal de S', y viceversa.

DPS = - DPS' (ecuación VIII)

En definitiva, la interacción entre dos sistemas puede entenderse como un intercambio de sus momentos lineales.

Si aplicamos la derivada respecto al tiempo en la ecuación VII obtenemos:

dPS/dt + dPS'/dt = 0 ® FS + FS' = 0 ® FS = - FS' (ecuación IX)

siendo FS y FS' las fuerzas externas sobre cada uno de los sistemas. El hecho de que sean las fuerzas externas es debido a la anulación obligatoria de las fuerzas internas entre cada pareja de partículas dentro de cualquier sistema en base a la ley de acción-reacción de Newton o tercera ley de la dinámica. La ecuación IX establece pues que la ley de acción-reacción entre dos sistemas se verifica como si cada sistema se tratara de una partícula.

De la ecuación V obtenemos derivando respecto al tiempo:

F = dP/dt = M dvcm/dt = M acm (ecuación X)

Con lo cual vemos que el centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sujeta a la fuerza externa aplicada al sistema (Física. Volumen I: mecánica. Alonso y Finn). 

(Los resultados expresados por las ecuaciones desarrolladas hasta ahora ponen de manifiesto que la interacción entre dos sistemas de partículas pueden ser descritos como si de dos partículas se trataran.  Es interesante relacionar la fuerza externa que actúa sobre un sistema con las fuerzas externas que actúan sobre cada una de las partículas de dicho sistema. Para abreviar supongamos que un sistema está constituido solo por dos partículas, designaremos F12 la fuerza interna que la partícula 2 ejerce sobre la 1 y F21 a la fuerza interna que ejerce 1 sobre 2. La ley de acción-reacción indica que: F12 = - F21. Llamemos F1 a la fuerza externa sobre la partícula 1 debido a su interacción con otras partículas e igualmente F2 a la fuerza externa sobre ella: La fuerza total sobre cada una es: dp1/dt = F1 + F12; dp2/dt = F2 + F21. La variación del momento lineal del sistema de las dos partículas es: dP/dt = dp1/dt + dp2/dt = F1 + F2. ya que F12 + F21 = 0. Por tanto la fuerza externa sobre un sistema de partículas es la suma de las fuerzas externas sobre cada una de las partículas del sistema (Física. Volumen I: mecánica. Alonso y Finn).) 

1.1.2 Masa reducida 

Vamos a suponer el caso de dos partículas sujetas solamente a la interacción entre ellas; este es el caso de que no actuara ninguna fuerza externa sobre ellas. Las dos partículas pueden ser dos bolas de billar en el momento del choque entre ellas y durante un instante breve donde otras fuerzas como las de rozamiento pueden obviarse. Las fuerzas internas mutuas entre ellas F12 y F21 donde lógicamente hemos considerado a las dos partículas como sistemas S y S' con la masa concentrada en su centro geométrico. En el siguiente esquema representamos las posiciones de cada una en relación a un sistema inercial de referencia así como las fuerzas mutuas:

 
Con respecto al observador inercial 0:

F12 = m1 dv1/dt

F21 = m2 dv2/dt

O sea:

dv1/dt = F12/m1

dv2/dt = F21/m2 

Restando ambas ecuaciones: 

dv1/dt - dv2/dt = F12/m1 - F21/m2 

Al ser F12 = - F21 tenemos que: 

d(v1-v2)/dt = (1/m1 + 1/m2) F12 (ecuación XI) 

siendo v1 - v2 = v12 la velocidad relativa de m1 respecto a m2 y por tanto d(v1-v2)/dt = dv12/dt = a12 que es la aceleración de m1 relativa a m2 

Introducimos el concepto de masa reducida del sistema definido por: 

1/µ = 1/m1 + 1/m2 = (m1+m2)/(m1·m2) o bien: 

µ = (m1·m2)/(m1+m2) (ecuación XII) 

La ecuación XI puede ser entonces escrita bajo la forma: 

a12 = F12® F12 = µa12 (ecuación XIII) 

Lo que nos lleva a: el movimiento relativo de dos partículas sujetas únicamente a una interacción mutua es equivalente al movimiento, relativo a un observador inercial, de una partícula de masa igual a la masa reducida bajo una fuerza igual a la interacción de una de ellas.
 
(En el caso que m1 = m2 se verifica que µ = ½ m1. En tal caso se verifica que: F12 = ½ m1 a12)
 
1.1.3 Momento angular de un sistema de partículas
 
El momento angular de una partícula con relación a un punto dado viene definido por
 
L = r Ù p = m r Ù v
 
Donde el símbolo "Ù" representa al producto vectorial
 
La derivación del momento angular de la partícula nos lleva a:
 
dL/dt = d(r Ù p/dt = m d(r Ù v)/dt = m [(dr/dt) Ù v + r Ù (dv/dt)] = m [v Ù v + r Ù (dv/dt)] =
 
= m (r Ù a) = r Ù ma = r Ù F = t (ecuación XIV)

 

Siendo t el momento de la fuerza o torque en relación a un punto dado.
 
Supongamos ahora un sistema de dos partículas, el torque sobre cada una de ellas será:
 
dL1/dt = t1 ; dL2/dt = t2
 
sumamos ambas: d(L1+L2)/dt = t1 + t2 (ecuación XV)
 
Supongamos que sobre cada partícula actúa una fuerza externa además de la que ejerce
sobre ella la otra:
 
t1 = r1 Ù (F1 + F12) = r1 Ù F1 + r1 Ù F12
 
t2 = r2 Ù (F2 + F21) = r2 Ù F2 + r2 Ù F21
 
Dado que F12 = F21:
 
t1 + t2 = r1 Ù F1 + r2 Ù F2 + (r2 - r1) Ù F21
 
Y como el vector r2 - r1 está en la línea que contiene a ambas partículas y también en ella
se contiene F21 el último sumando se anula obteniéndose:
 
d(L1+L2)/dt = t1.ext + t2.ext
 
generalizado a cualquier número de partículas obtenemos:
 
dL/dt = text (ecuación XVI)
 
Por tanto: la rapidez de cambio del momento angular total de un sistema de partículas en
relación a un punto es igual al torque total en relación al mismo punto, de las fuerzas
externas que actúan sobre el sistema. Este enunciado se considera como ley fundamental de
la dinámica de rotación. 

(Si no hubiera fuerzas externas o casualmente la suma de los torques fuera cero sería: dL/dt = 0 y por tanto:
L = L1 + L2 = constante. Es decir: EL MOMENTO ANGULAR TOTAL DE UN SISTEMA AISLADO O SOBRE EL QUE
ACTÚA UN TORQUE TOTAL NULO ES CONSTANTE VECTORIALMENTE, ES DECIR, ES CONSTANTE EN VALOR Y EN
 DIRECCIÓN. La ecuación anterior implica además que: DL1 = - DL2. Con respecto a un sistema cualquiera formado
por un número de partículas debemos indicar que el aumento producido en el momento angular de una región de dicho
 sistema implica una disminución de igual valor en el resto. Esto siempre y cuando el sistema esté aislado o el torque
 total exterior sea nulo. Esta última connotación (torque total nulo) es frecuente, como en los casos donde la fuerza
externa está en la dirección del centro de masas G. En tal circunstancia dicha fuerza externa podrá provocar un
 cambio en el contexto de una traslación pero sin afectar a la rotación total del sistema) 

1.1.4. Energía cinética de un sistema de partículas 

Consideremos dos partículas de masas m1 y m2, sobre las que se ejercen respectivamente fuerzas F1 + F12 y F2 + F21, siendo F1 y F2 las fuerzas externas, y F12 = - F21 las fuerzas internas entre ellas iguales y de sentidos contrarios. Se verifica entonces: 

m1a1 = F1 + F12 y m2a2 =  F2 + F21 (ecuaciones XVII) 

sean dr1 y dr2 un infinitesimal desplazamiento en un tiempo dt de cada una de las partículas y tangentes a la trayectoria que cada una describe, efectuamos el producto escalar y será entonces: 

m1a1·dr1 = F1· dr1 + F12· dr1 y m2a2· dr2 =  F2· dr2 + F21· dr2 

que sumadas nos lleva a: 

m1a1·dr1 + m2a2·dr2 = F1·dr1+F2·dr2+F12·(dr1-dr2) (ecuación XVIII) 

que podemos transformar de la siguiente manera: 

m1(dv1/dt)·dr1 + m2(dv2/dt)·dr2 = F1·dr1+F2·dr2+F12·(dr1-dr2) 

m1dv1·(dr1/dt) + m2dv2·(dr2/dt) = F1·dr1+F2·dr2+F12·(dr1-dr2) 

m1dv1·v1 + m2dv2·v2 = F1·dr1+F2·dr2+F12·(dr1-dr2) 

m1v1dv1 + m2v2dv2 = F1·dr1+F2·dr2+F12·dr12 

Integrando desde un tiempo inicial t0 hasta un tiempo t obtenemos:

 

m1v1dv1 + m2v2dv2 = F1·dr1+F2·dr2+F12·dr12 

m1(v12/2-v102/2) + m2(v22/2-v202/2) = W1,ext + W2,ext + Wint 

y finalmente: Ec - Ec0 = Wext + Wint (ecuación XIX) 

Resulta evidente que si no hay fuerzas externas el término Wext = 0, lo que nos lleva a que la variación de la energía cinética del sistema solo puede ser debido a fuerzas internas. 

Aún así, la mayor parte de los fenómenos cotidianos suponen sistemas que interactúan con el entorno con lo que las fuerzas externas y, por tanto, el trabajo externo suele aparecer como un parámetro a tener en cuenta. En la colisión por ejemplo entre dos bolas es inevitable cierto grado de participación de fuerzas externas como deformaciones por el propio choque o por la existencia de fuerzas disipativas como las de rozamiento. En estos casos la fuerza externa supone un consumo energético del sistema que se traduce en una pérdida de la energía cinética del sistema. Es decir, que aun suponiendo que Wint  = 0 a causa de la ley de acción-reacción debe considerarse en numerosas ocasiones Wext como valor negativo para el sistema, por tanto Ec - Ec0 = -Wext o bien Ec = Ec0 - Wext 

(Todo el desarrollo matemático hasta ahora nos ha llevado a una serie de leyes de conservación y de variación. Si
 sobre un sistema no actúan fuerzas externas su momento lineal permanece constante. Esto implica que si el sistema
 se constituye de dos sub sistemas, el aumento del momento lineal de uno supone una disminución de igual valor en
 el otro. De la misma manera también el momento angular de un sistema permanece constante cuando no actúan
fuerzas externas, lo que implica que si está constituido por dos sub sistemas, el aumento del momento angular de
 uno de ellos supone la disminución de igual valor en el otro. Las mismas condiciones podemos establecer
para la energía cinética. Sin embargo, insisto una vez más, es imposible aislar por completo un sistema aunque si
podemos llegar a aproximaciones más o menos aceptables. Un caso posible es considerar una transición de un sistema
 en un tiempo suficientemente breve como para considerar que las únicas interacciones significativas sean las debidas
 a las fuerzas internas. En tal caso si podríamos admitir los principios de conservación antes indicados)

1.1.5 Colisiones 

La aproximación entre dos partículas supone, debido a la mutua interacción, un intercambio de momento lineal, momento angular y energía. Igual consideración podemos establecer cuando la aproximación es entre dos sistemas de partículas. No es necesario para ello que las dos partículas o sistemas hayan tenido un contacto físico en el sentido microscópico, y aunque en el sentido macroscópico pueda dar esa impresión (por ejemplo la colisión entre dos bolas de billar) la realidad es que no ha sucedido realmente el contacto. De todas maneras es suficiente con una aproximación de las partículas o de los dos sistemas en una cierta región del espacio. 

El cambio de la trayectoria, las velocidades, momentos lineales, momentos angulares y energía de cada partícula o sistema en un tiempo breve de la colisión se deben sólo y exclusivamente a fuerzas internas. Esto supone la conservación global del momento lineal, del momento angular y de la energía. 

La energía del sistema es la suma de su energía cinética y su energía interna. En el caso del estudio de sistemas planetarios podría considerarse dentro de la energía interna la energía potencial gravitatoria de los distintos astros, pero en el caso de fenómenos que nos resultan más cotidianos y cercanos como podría ser el choque entre dos bolas de billar, la energía interna se debe a un conjunto de energías que poseen los distintos constituyentes o partículas elementales del sistema, especialmente la energía potencial eléctrica, las cinéticas internas debida a vibraciones atómicas, moleculares o incluso de núcleos, las causadas por enlaces químicos, etc. Estas energías que globalizan a la interna del sistema pueden verse afectadas en la colisión. Es más, probablemente siempre ocurre ya que es casi imposible que un estado alterado retorne a su situación inicial al nivel molecular. Aún así, y durante un determinado y muy breve espacio de tiempo, podríamos despreciar estos cambios y considerar que la única energía significativa en cuanto a transformación es la cinética. 

Podemos, por tanto, considerar dos tipos de colisiones: a) elásticas en las que la energía cinética global permanece constante, b) inelástica en las que la energía cinética global ha variado de valor y siempre disminuyendo. 

En casos reales la decisión de si una colisión es elástica o no tiene mucho que ver con las condiciones en las que se ha producido. Cuando una bola de billar impacta con poca velocidad sobre otra la pérdida de energía por deformaciones puede casi despreciarse y considerar entonces que se mantiene la energía cinética global. Cuando la colisión es intensa la deformación puede ser suficientemente importante para tener en cuenta la variación de la energía cinética. Definiremos el término Q como Q = Ec - Ec0. Por lo anterior es Q = 0 para una colisión elástica y Q ≠ 0 para una colisión inelástica. 

(El caso específico del choque entre dos bolas de billar puede ser un problema sumamente complejo. Tener en cuenta
que el choque sucede con las bolas deslizándose o rotando sobre un paño con el que sostienen un rozamiento. No
 es por tanto el mismo caso que una colisión entre dos bolas supongamos en el aire donde el rozamiento con el aire
podría despreciarse sin afectar significativamente a los resultados. La bola de billar no es un material rigurosamente
 rígido sino que tiene cierta elasticidad, esto implica que cuando dos bolas chocan inevitablemente se
 produce una deformación en ellas y que es la causa principal del deterioro de las mismas. La deformación de las
 bolas es mayor cuanto mayor sea la velocidad del impacto y las consecuencias son muy distintas a las que
acaecen con velocidades pequeñas. Realmente podemos estimar que el tiempo de la colisión es muy breve, lo que
 implica que si bien no podemos olvidar la deformación por el choque, sí podemos considerar nulo la
afectación del rozamiento con el paño en ese momento del choque. En cuanto a la colisión de una bola en la
 banda la complejidad es aún mayor debido a la gran elasticidad de la propia banda que se deforma
ostensiblemente. La intensidad de la deformación así como la forma geométrica de la deformación de la banda
 es muy variable y tiene mucho que ver con la velocidad, el ángulo e incluso la rotación de impacto de la bola)
 

Veamos el caso concreto de una colisión entre dos partículas (por ejemplo dos bolas de billar) donde sólo tendremos en cuenta las fuerzas mutuas entre ellas y ninguna fuerza externa como rozamientos, etc.  

Las energías cinéticas iniciales y finales del sistema serían: 

Ec0 = ½ m1v1,02 + ½ m2v2,02 = p1,02/(2m1) + p2,02/(2m2) 

Ecf = ½ m1v1,f2 + ½ m2v2,f2 = p1,f2/(2m1) + p2,f2/(2m2) 

La pérdida de energía sería: Q = Ecf - Ec0 (ecuación XX) 

Q = p1,f2/(2m1) + p2,f2/(2m2) - p1,02/(2m1) - p2,02/(2m2) 

p1,f2/(2m1) + p2,f2/(2m2) = p1,02/(2m1) - p2,02/(2m2) + Q (ecuación XXI) 

Según se indicó en la página anterior se verifica además el principio de conservación del momento lineal: 

p1,0 + p2,0 = p1,f + p2,f (ecuación XXII) 

Las ecuaciones XXI y XXII son suficientes para resolver el problema del choque completamente. 

De acuerdo con la ecuación VI, si referimos los choques al centro de masas el momento lineal es cero, esto implica que:

p1,0 = - p2,0 y p1,f = - p2,f que suponen las mismas condiciones para sus módulos: p1,0 = - p2,0 y p1,f = - p2,f 

Sustituyendo en la ecuación XXI: 

½ (1/m1 + 1/m2) p1,f2 = ½ (1/m1 + 1/m2) p1,02 + Q 

Y utilizando la definición de masa reducida: 

p1,f2/2µf = p1,02/2µ0 + Q (ecuación XXIII) 

En la que hemos supuesto que µf ≠ µ0, es decir, que las masas de las partículas antes y después del choque son diferentes. Esta consideración normalmente siempre es cierta llevada a la escala microscópica y en el choque entre dos bolas de billar también por la lógica pérdida de masa. Con un cierto tiempo de margen el experimentador podrá comprobar que las bolas de billar pesan cada vez menos como consecuencia de su uso. 

No obstante, sin contradecir lo anterior, podemos estimar que en un choque puntual la pérdida de masa es despreciable y entonces µf = µ0 o bien: 

p1,f2/2µ = p1,02/2µ + Q (ecuación XXIV) 

(En un choque hay siempre un intercambio de momento lineal entre las partículas pero no necesariamente un
 intercambio de energía cinética entre ellas. Por ejemplo, si el choque es elástico (Q = 0) y las partículas finales son las
mismas que las iniciales (sin variaciones en sus masas) la ecuación XXIV da como resultado p1,0 = p1,f, e igualmente
 p2,0 = p2,f. De esta manera, en el sistema del centro de masas, los momentos lineales del choque elástico antes y
 después tienen los mismos valores y las partículas retienen sus energías cinéticas, o dicho de otro modo, no se
 intercambian energía cinética entre ellas con relación al centro de masas. Sin embargo ha habido un intercambio del
momento lineal ya que las direcciones de sus movimientos han sido cambiadas)

  PROBLEMA CONCRETO DEL CHOQUE ENTRE DOS BOLAS DE BILLAR 

Sea la bola 1 la que el jugador golpea a través de su taco para dirigirla hacia la bola 2. La regla del billar exige que esta bola 2 deba estar en reposo. También vamos a suponer que las masas de las bolas son idéntica entre ellas y antes y después de la colisión.
 

 
Por el principio de conservación del momento lineal se verifica: 

v1,0 = v1,f + v2,f de donde v1,02 = v1,f2 + v2,f2 + 2v1,f·v2,f·cos(q1+q2) 

Por el principio de conservación de la energía cinética se verifica:

v1,02 = v1,f2 + v2,f2 . Por tanto 2v1,f·v2,f·cos(q1+q2) = 0

Lo que implica que q1+q2 = 90º, es decir, las velocidades de las dos bolas son perpendiculares entre sí.